數學王三角形的外角是什麼
把三角形的一條邊延長出去，延長的線和旁邊那條邊夾出的角，叫做這個頂點的外角。下圖把 BC 邊延長到 D 點，∠ACD 就是頂點 C 的外角。外角和同一個頂點的內角加在一起，剛好是一條直線，所以內角 + 外角 = 180°。圖中 ∠ACB = 60°，外角 ∠ACD = 120°。
和外角沒有碰在一起的兩個內角，叫做它的內對角。∠ACD 的內對角是 ∠A 和 ∠B。圖中 ∠A = 70°、∠B = 50°，70° + 50° = 120°，剛好等於外角的大小。這就是三角形外角定理。
外角和公式整理
n 代表多邊形有多少條邊。外角定理只適用於三角形，但外角和 360 度則適用於所有凸多邊形。
外角定理和外角和公式怎麼來的
外角定理有兩種說明方式。第一種用三角形內角和：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，而外角 ∠ACD + ∠ACB 也是 180°，兩式都扣掉 ∠ACB，就得到 ∠ACD = ∠A + ∠B。第二種用平行線：過 C 畫一條和 AB 平行的直線，把外角切成兩塊，一塊和 ∠A 是內錯角，一塊和 ∠B 是同位角，所以外角等於 ∠A + ∠B。
外角和 360 度的推法是把每個頂點的內角和外角加起來。n 邊形有 n 個頂點，每個頂點內角 + 外角 = 180°，全部加起來是 n × 180°。其中內角和是 (n − 2) × 180°，所以外角和 = n × 180° − (n − 2) × 180° = 2 × 180° = 360°。n 被消掉了，所以外角和和邊數無關。
- 三角形：3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°。
- 四邊形：4 × 180° − 360° = 720° − 360° = 360°。
- 五邊形：5 × 180° − 540° = 900° − 540° = 360°。
- 六邊形：6 × 180° − 720° = 1080° − 720° = 360°。
三角形外角和為什麼是 360 度
還有一種看法是想像自己沿著三角形的邊走一圈。從 B 走到 C，到了 C 要轉一個外角的角度才能朝向 A，到了 A 再轉一個外角朝向 B，回到 B 再轉一個外角，就回到原本的方向，剛好轉了一整圈 360 度。多邊形也一樣，沿著邊走一圈回到原點，轉過的角度加起來就是一整圈。
下圖三個內角是 50°、70°、60°，三個外角分別是 180° − 50° = 130°、180° − 70° = 110°、180° − 60° = 120°，加起來 130° + 110° + 120° = 360°。
正多邊形的內角和外角對照表
正多邊形的每個角大小都一樣。所以，每個外角就是 360° ÷ n，每個內角就是 180° − 每個外角。用外角來算內角，比先算出所有內角加起來再除以 n 要快很多。
| 正多邊形 | 外角和 | 每個外角 | 每個內角 | 內角和 |
|---|---|---|---|---|
| 正三角形 | 360° | 120° | 60° | 180° |
| 正方形 | 360° | 90° | 90° | 360° |
| 正五邊形 | 360° | 72° | 108° | 540° |
| 正六邊形 | 360° | 60° | 120° | 720° |
| 正八邊形 | 360° | 45° | 135° | 1080° |
| 正九邊形 | 360° | 40° | 140° | 1260° |
| 正十邊形 | 360° | 36° | 144° | 1440° |
| 正十二邊形 | 360° | 30° | 150° | 1800° |
正七邊形的每個外角是 360° ÷ 7，算出來不是整數，大約是 51.43°。
外角例題
做題時，先看清楚題目給的是內角還是外角，再選擇正確的公式。
例 1在三角形 ABC 中，∠A = 45°、∠B = 65°，把邊 BC 延長，求頂點 C 的外角。
- 外角等於兩個不相鄰的內角之和：45° + 65° = 110°
- 檢查一下：∠C = 180° − 45° − 65° = 70°，外角 180° − 70° = 110°
答：110°
例 2三角形的一個外角是 130°，它的一個內對角是 55°，求另一個內對角。
- 外角 = 兩個內對角的和：130° = 55° + 另一個內對角
- 另一個內對角 = 130° − 55° = 75°
答：75°
例 3三角形三個外角的比是 2 : 3 : 4，求三個外角和三個內角。
- 外角和 360°，360° ÷ (2 + 3 + 4) = 40°
- 三個外角：40° × 2 = 80°，40° × 3 = 120°，40° × 4 = 160°
- 先把三個內角算出來：180° − 80° = 100°，180° − 120° = 60°，180° − 160° = 20°。最後檢查一下，100° + 60° + 20° = 180°，這樣就對了。
答：外角 80°、120°、160°，內角 100°、60°、20°
例 4有一個正多邊形，它的每個外角都是 24°。請問它是正幾邊形？還有，它的每個內角是幾度？
- 先算邊數：360° ÷ 24° = 15
- 再算每個內角：180° − 24° = 156°
答：正十五邊形，每個內角 156°
例 5有一個五邊形，其中四個外角分別是 60°、75°、80°、90°。請問第五個外角是幾度？
- 因為所有外角加起來總和是 360°，先算已知的四個：60° + 75° + 80° + 90° = 305°
- 第五個外角 = 360° − 305° = 55°
答：55°
外角和常見錯誤
外角和看起來很簡單，但大家最容易犯錯的地方，就是沒搞清楚外角到底是什麼。
- 在一個頂點取了兩個外角：在每個頂點，把兩條邊往外延長，其實可以做出兩個外角。這兩個外角就像面對面的對頂角，大小是一樣的。不過在算外角和的時候，每個頂點只能選其中一個來加總。
- 以為邊數越多，外角和就越大：內角和確實會隨著邊數增加而變大，但是外角和不管邊數多少，永遠都是 360 度。
- 把外角定理用在四邊形上：「外角等於兩個不相鄰內角的和」這個規則，只適用於三角形，不能用在四邊形。
- 把外角和內角搞混了：如果題目說「每個內角是 140°」，你要先把它換算成外角，也就是 180° − 140° = 40°，然後再用 360° ÷ 40° = 9 來求出邊數。
常見問題
三角形外角和是幾度？
360 度。每個頂點取一個外角，三個外角加起來是 360 度。三角形的內角和才是 180 度。
多邊形外角和公式是什麼？
任何凸多邊形每個頂點取一個外角，外角和都是 360 度，和邊數無關。因為 n 個頂點的內角加外角是 n × 180°，扣掉內角和 (n − 2) × 180°，剩下 360°。
三角形外角定理是什麼？
三角形的一個外角等於兩個內對角的和。例如兩個內角是 45 度和 65 度，第三個頂點的外角就是 110 度。
外角和是幾年級學的？
這是在國二學的。根據 108 課綱，國二會學到內角和外角是什麼意思，還有三角形外角的定理。至於多邊形外角和是 360 度這件事，課綱寫說國二不特別教，不過你可以把它當作從內角和公式延伸出來的一個小知識。