內錯角

內錯角是什麼

你有兩條直線，分別叫 L 和 M，還有一條線像剪刀一樣把它們切開，這條切開的線叫做截線。在兩個切到的地方，一共形成了 8 個角。那些夾在 L 和 M 兩條線中間的角，我們叫它內角。內錯角就是內角裡面，位置交錯的那一對：一個在截線的左邊，另一個在截線的右邊。你看下面的圖，∠3 在上面那個交點的左下方，∠5 在下面那個交點的右上方，它們就是一組內錯角。另外一組是上面交點右下方的 ∠4，和下面交點左上方的 ∠6。

如果你把兩個內錯角的邊描出來，形狀看起來很像一個 Z 字，或者是一個反過來的 Z 字。這是找內錯角最快的方法。不過要特別注意，內錯角講的是角的位置。不管 L 和 M 有沒有像鐵軌那樣平行，∠3 和 ∠5 都叫內錯角。只有當 L ∥ M，也就是 L 和 M 像鐵軌一樣一直往前也不會碰在一起的時候，這兩個角的大小才會一樣大。

內錯角性質

下面這個性質，正著用是來算角度的大小，反過來用是來判斷兩條線是不是平行。這兩個方向你都要學會。

為什麼平行線的內錯角相等

我們可以用「同位角相等」和「對頂角相等」這兩個已經學過的規則，來想辦法證明內錯角也是相等的。下面就用剛才那張圖上的數字來一步一步說明。

1. ∠3 和 ∠1 在同一個交叉點上，它們的方向是相反的，這種角叫做對頂角。因為對頂角的大小永遠一樣，所以 ∠3 = ∠1。
2. 因為直線 L 和直線 M 是平行的，就像兩條鐵軌一樣不會碰在一起。∠1 和 ∠5 的位置在兩條平行線裡的相對位置是一樣的，這種角叫做同位角。所以 ∠1 = ∠5。
3. 把前面兩步連起來看，∠3 = ∠1 = ∠5。這就證明了那對內錯角 ∠3 = ∠5，它們的大小是完全相等的。
4. 另一組角也是一樣的道理。∠4 = 180° − ∠3，∠6 = 180° − ∠5。因為 ∠3 = ∠5，所以 ∠4 = ∠6。

內錯角、同位角、同側內角怎麼分

這三種角常常一起出現在同一題裡。我們先看清楚它們的位置，再決定它們是相等還是互補。表格裡的編號跟上面的圖一樣：上面那個交點，右上角、左上角、左下角、右下角，依序是 ∠1 到 ∠4；下面那個交點，依序是 ∠5 到 ∠8。

Z、C、F 這些字母只是幫助我們記住角的位置。題目裡的圖可能會轉個方向或者翻過來，所以判斷的時候，要以定義為準。

拐角題：過拐點畫平行線

國二最常見的內錯角題目，是兩條平行線中間夾了一個拐角，要我們求這個拐角的度數。下圖中 L ∥ M，A 在 L 上、B 在 M 上，P 在兩條線中間，∠A = 40°、∠B = 35°，要求 ∠APB。

做法是先過 P 畫一條和 L 平行的虛線，因為 L 和 M 平行，這條虛線也會和 M 平行。這條虛線把 ∠APB 切成上下兩塊：上面那塊和 ∠A 是內錯角，等於 40°；下面那塊和 ∠B 是內錯角，等於 35°。所以 ∠APB = 40° + 35° = 75°。記住結論：拐角開口朝向兩條平行線外側時，拐角等於兩個內錯角的和。

內錯角例題

做題的時候，要先寫出你用到了哪一個規則。寫成「因為 L 平行 M，所以內錯角相等」。到了國二學幾何的時候，一定要把為什麼這樣想的理由寫出來。

內錯角常見錯誤

接下來幾種錯誤是國二學生考卷上最常犯的，你寫完後可以一個一個檢查。

• 還沒確認平行就說內錯角相等：如果題目沒有說 L ∥ M，也沒有其他條件能證明它們像鐵軌一樣永遠不會碰在一起，那內錯角就不一定相等。
• 把同側內角當成內錯角：如果兩個角都在截線的同一邊，那是同側內角，它們加起來要等於 180 度，而不是相等。
• 看錯截線：一個圖裡常常有好幾條線，先找出哪兩條是平行線、哪一條是截過它們的線，再判斷角的位置。
• 拐角題直接把兩個角相減：拐角開口朝外時是兩個內錯角相加；不確定時就過拐點畫平行線，一塊一塊算。

常見問題

延伸學習