平行線距離公式：兩平行線距離怎麼算與例題

兩平行線的距離是什麼

點到直線的距離，就是從這個點往那條直線畫一條垂直線段的長度。垂直就是兩條線碰在一起形成直角，像書本的角或「十」字。這條垂直線段是所有連到直線的線段裡最短的一條。兩條平行線的距離，就是從其中一條線上的點，往另一條線畫垂直線段的長度。平行就像鐵軌的兩條線，一直往前也不會碰在一起。因為平行線之間的距離處處相等，所以你選哪一個點來量，答案都會是一樣的。

如果兩條直線不平行，它們一定會相交。相交的距離會從某一個地方的 0 開始，然後越來越大，所以沒有固定的距離。因此，只有平行的兩條線，我們才能談兩線之間的距離。

L ∥ M，在 L 上任選兩個點往 M 畫垂直線段，兩段都是 d

兩平行線距離公式

下面的公式，是高中一年級在學直線方程式時會學到的。a、b 不能同時是 0。√(a² + b²) 是根號，你可以用下面的根號計算機來算。

兩平行線距離d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)兩條線寫成 ax + by + c₁ = 0 和 ax + by + c₂ = 0，a、b 要相同

點到直線距離d = |a × x₀ + b × y₀ + c| ÷ √(a² + b²)點 (x₀, y₀) 到直線 ax + by + c = 0

斜截式d = |k₁ − k₂| ÷ √(1 + m²)兩條線寫成 y = mx + k₁ 和 y = mx + k₂

水平線d = |k₁ − k₂|y = k₁ 和 y = k₂，國中就能算

鉛垂線d = |h₁ − h₂|x = h₁ 和 x = h₂，國中就能算

平行線距離公式怎麼來的

兩平行線距離公式，就是從「點到直線距離公式」想出來的。因為兩條平行線像鐵軌一樣，中間的寬度處處一樣，我們就在第一條線上隨便找一個點，算算看這個點到第二條線的距離是多少。

在 ax + by + c₁ = 0 這條線上取一點 (x₀, y₀)。既然這個點在線上，把它代進方程式裡一定成立，所以 a × x₀ + b × y₀ = −c₁。
接著用點到直線距離公式，算它到 ax + by + c₂ = 0 這條線的距離：d = |a × x₀ + b × y₀ + c₂| ÷ √(a² + b²)。
把 a × x₀ + b × y₀ 換成 −c₁：d = |−c₁ + c₂| ÷ √(a² + b²) = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)。
這一步用到兩條線的 a、b 相同，所以 a、b 不一樣時，要先把其中一條方程式乘上一個數，讓係數一致。

國中怎麼算：用面積求距離

國中還沒學點到直線距離公式，但學過畢氏定理和三角形面積，也能算出坐標上兩平行線的距離。下圖兩條平行線是 3x − 4y = 0 和 3x − 4y + 20 = 0，原點 O(0, 0) 和 Q(4, 3) 在第一條線上，P(0, 5) 在第二條線上。

三角形 OPQ 用 OP 當底，OP = 5，高是 Q 到 y 軸的距離 4，面積是 5 × 4 ÷ 2 = 10。換成用 OQ 當底，OQ = √(4² + 3²) = 5，這時的高就是 P 到直線 OQ 的距離 d，所以 5 × d ÷ 2 = 10，d = 4。用高中公式驗算：|0 − 20| ÷ √(3² + 4²) = 20 ÷ 5 = 4，答案一樣。

P(0, 5) 到直線 3x − 4y = 0 的垂足是 H(2.4, 1.8)，PH = 4，就是兩平行線的距離

兩平行線距離例題

前兩題國中就能算，後三題要用高中的公式。每一題都先檢查兩條線的 x、y 係數是不是一樣。

例 1請算出直線 y = 2 和 y = −3 之間的距離。

這兩條線都是橫著的水平線，它們之間的距離就是看 y 坐標相差多少。
|2 − (−3)| = |5| = 5

答：5

例 2請算出直線 x = −1 和 x = 6 之間的距離。

這兩條線都是直直的鉛垂線，它們之間的距離就是看 x 坐標相差多少。
|−1 − 6| = |−7| = 7

答：7

例 3請算出 3x + 4y − 5 = 0 和 3x + 4y + 15 = 0 這兩條線之間的距離。

看這兩條線，它們前面的數字 a 都是 3，b 都是 4，只有最後面的數字不一樣，一個是 c₁ = −5，另一個是 c₂ = 15。
先算 √(3² + 4²) = √25 = 5。
把兩個不同的數字相減，再除以剛剛算出的 5，得到 d = |−5 − 15| ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4。

答：4

例 4請算出 2x − y + 3 = 0 和 4x − 2y − 1 = 0 這兩條線之間的距離。

係數不一樣，把第一條乘以 2：4x − 2y + 6 = 0
先算出 a = 4、b = −2，接著算 √(4² + (−2)²) = √20 = 2√5。
把數字代進去，d = |6 − (−1)| ÷ 2√5 = 7 ÷ 2√5 = 7√5 ÷ 10，大約是 1.57。

答：7√5 ÷ 10，約 1.57

例 5請算出 y = x + 1 和 y = x − 3 這兩條線之間的距離。

因為兩條線的斜率都是 1，像鐵軌一樣平行，所以 k₁ = 1，k₂ = −3。
算式是 d = |1 − (−3)| ÷ √(1 + 1²) = 4 ÷ √2 = 2√2。
2√2 大約等於 2.83。

答：2√2，約 2.83

根號計算機：算 √(a² + b²)

把數字代進公式時，分母裡的 √(a² + b²) 常常不是整數。舉例來說，如果 a = 4、b = −2，算出來就是 √20。你可以在下面輸入 a² + b² 的值，這樣就能看到它的近似值、化成最簡根式的寫法，以及它介於哪兩個整數之間。像 √20 就會化成 2√5，大約是 4.47。

代公式前要檢查的事

用平行線距離公式時，最容易出錯的地方是在代公式之前的準備工作。在開始計算前，請先檢查下面這三件事。

先確認兩條線是不是真的像鐵軌一樣平行。判斷的方法是看 x 和 y 前面的數字（係數）有沒有成比例。例如 2x − y 和 4x − 2y 的數字成比例，所以它們平行；但 2x − y 和 2x + y 的數字不成比例，所以它們不平行。
a、b 調成一樣了嗎：係數只是成比例還不能代，要乘開到完全相同，c 也要跟著乘。
檢查方程式有沒有都移項成等號右邊是 0 的形式。例如 3x + 4y = 5 要先改寫成 3x + 4y − 5 = 0，這樣 c₁ 才是 −5，而不是 5。

常見問題

兩平行線距離公式是什麼？

直線 ax + by + c₁ = 0 和 ax + by + c₂ = 0 之間的距離是 |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)。記得在代公式之前，要先把兩條方程式的 a 和 b 調成完全一樣才能計算。

平行線距離公式是國中還是高中學的？

用方程式來算距離的公式，是高中一年級學直線方程式時才會學到的內容。國中的時候，我們學的是平行線之間的距離處處都一樣大。也會學怎麼算坐標上水平線和鉛垂線之間的距離，還有怎麼用面積加上畢氏定理來算距離。

兩條線的係數不一樣怎麼辦？

第一步要先確認兩條直線的係數是不是成比例。第二步要把其中一條直線的方程式整條乘上同一個數，讓 x 和 y 前面的係數變得完全一樣。記得常數項也要一起乘哦。做完這些，就可以代進公式裡計算了。

平行線距離公式