五邊形內角和：540 度、每個內角 108 度與例題

五邊形內角和為什麼是 540 度

從五邊形的一個頂點出發，和左右兩個相鄰的頂點本來就連著邊，只能連到另外 2 個頂點，畫出 2 條對角線，把五邊形切成 3 個三角形。3 個三角形的角剛好組成五邊形的 5 個內角，每個三角形內角和 180°，所以五邊形內角和是 3 × 180° = 540°。

你也可以這樣想：把五邊形看成一個四邊形加上一個三角形。沿著一條對角線切開，一邊是四邊形，它的內角和是 360°；另一邊是三角形，內角和是 180°。把兩個加起來，360° + 180° = 540°。不管五邊形長得歪歪斜斜還是整齊，只要是凸五邊形，它的內角和永遠都是 540°。

五邊形從一個頂點畫 2 條對角線，切成 3 個三角形，內角和 3 × 180° = 540°

正五邊形的五條邊一樣長，五個角也一樣大。它的內角和還是 540°。因為有五個角，所以每個內角是 540° ÷ 5 = 108°。如果把一條邊往外延長，得到的外角是 180° − 108° = 72°。你也可以用外角和來算，所有外角加起來是 360°，除以 5 個角，360° ÷ 5 = 72°。

正五邊形裡藏著很多等腰三角形。連一條對角線，會切出一個兩腰是邊、頂角 108° 的等腰三角形，兩個底角是 (180° − 108°) ÷ 2 = 36°，所以對角線和邊的夾角是 36°。

正五邊形每個內角 108°，外角 72°，108° + 72° = 180°

五角形這個說法有時指五邊形，有時指五角星。五邊形是五條邊圍成的圖形，內角和 540°。五角星是把正五邊形的頂點每隔一個連起來畫出的星形，它的五個尖角加起來是 180°，正五角星每個尖角是 180° ÷ 5 = 36°。

我們可以用正五邊形來算正五角星的尖角。每個尖角都是夾在兩條「對角線」中間的，對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。前面我們算過，對角線和邊的夾角是 36°，所以用 108° − 36° − 36° = 36°。

正五角星五個尖角都是 36°，加起來 180°

做五邊形的題目時，都要先記住內角和是 540°。如果你知道四個角是多少，只要用 540° 減掉它們，就能算出剩下的那個角。

例 1五邊形四個角是 100°、110°、120°、95°，求第五個角。

答：115°

例 2五邊形有五個角，它們的大小一個比一個多 10°，最小的一個角是 x°，請算出這五個角各是多少度。

答：88°、98°、108°、118°、128°

例 3有一個五邊形，裡面有兩個角是像桌角那樣方方正正的直角，剩下三個角的大小都一樣，請問這三個角各是多少度？

答：120°

例 4一個五邊形裡面，可以畫出幾條對角線？

答：5 條

五邊形內角和是幾度？

540 度，(5 − 2) × 180° = 540°。從一個頂點畫 2 條對角線會切成 3 個三角形，3 × 180° = 540°。

正五邊形每個內角幾度？

108 度。正五邊形五個角一樣大，540° ÷ 5 = 108°，每個外角是 72°。

五角形內角和是幾度？

如果五角形指的是五邊形，內角和是 540 度；如果指的是五角星，五個尖角的和是 180 度，正五角星每個尖角 36 度。