數學王六邊形內角和為什麼是 720 度
從六邊形的一個頂點出發，扣掉自己和左右兩個相鄰的頂點，可以連到另外 3 個頂點，畫出 3 條對角線，把六邊形切成 4 個三角形。4 個三角形的角合起來剛好是六邊形的 6 個內角，所以內角和是 4 × 180° = 720°。
還有一種切法，我們沿著一條連接相對頂點的對角線，把六邊形切成兩個四邊形。每個四邊形的四個角加起來是 360°，兩個四邊形就是 360° + 360° = 720°，算出來的答案和剛剛一樣。
正六邊形內角和與每個內角
正六邊形從中心連到六個頂點，中心的一圈 360° 被平分成 6 份，每份 360° ÷ 6 = 60°。切出來的 6 個三角形都是正三角形，每個角都是 60°，所以正六邊形的每個內角由兩個 60° 組成，是 120°。
用這種切法也能算內角和：6 個三角形一共有 6 × 180° = 1080°，但是中間那一圈 360° 是多算出來的，所以要減掉，1080° − 360° = 720°。正六邊形每個外角是 180° − 120° = 60°，這也等於 360° ÷ 6。
正六邊形為什麼可以鋪滿平面
把同樣的正多邊形一片一片拼在地上，要拼得沒有空隙，圍在同一個頂點的角加起來必須剛好是 360°。正六邊形每個內角 120°，三片拼在一起是 120° × 3 = 360°，剛好沒有空隙，所以可以鋪滿平面。
正三角形每個角是 60°，六片拼起來是 60° × 6 = 360°，正方形每個角是 90°，四片拼起來是 90° × 4 = 360°，它們也可以鋪滿。但是正五邊形每個內角是 108°，如果拿三片拼，只有 324°，不夠填滿；拿四片拼，變成 432°，又太多會重疊。所以正五邊形沒辦法單獨用來鋪滿平面。
六邊形內角和例題
做六邊形的題目時，我們從 720° 開始想。如果是正六邊形的題目，就可以多用 120° 和 60° 這兩個數字來計算。
例 1有一個六邊形，它的五個角分別是 100°、130°、125°、140°、105°，請你算出第六個角是多少。
- 先把已知的五個角加起來：100° + 130° + 125° + 140° + 105° = 600°
- 用六邊形內角和減去這五個角的和：720° − 600° = 120°
答：120°
例 2一個六邊形裡面，有兩個角是像書本角落那樣方方正正的直角，剩下的四個角大小都一樣。請問這四個角每一個是多少度？
- 先算兩個直角：90° × 2 = 180°
- 再算剩下四個角的總和：720° − 180° = 540°
- 最後算每個角：540° ÷ 4 = 135°
答：135°
例 3有一個六邊形，它的六個角大小比例是 3 : 3 : 4 : 4 : 5 : 5，請問裡面最大的角是多少度？
- 先算比例的總和：3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 24
- 720° ÷ 24 = 30°
- 最大的角：30° × 5 = 150°
答：150°
例 4正六邊形邊長 4 公分，從中心到每個頂點的距離是多少？周長是多少？
- 從中心切成 6 個正三角形，三邊一樣長
- 中心到頂點 = 邊長 = 4 公分
- 周長 = 4 × 6 = 24（公分）
答：4 公分，周長 24 公分
例 5六邊形裡面總共有幾條對角線呢？
- 每個頂點可以畫 6 − 3 = 3 條對角線
- 算式是 6 × 3 = 18，可是每條對角線會被兩端的角各算一次，所以多算了。
- 把多算的減掉，18 ÷ 2 = 9，所以一共有 9 條對角線。
答：9 條
常見問題
六邊形內角和是幾度？
720 度，(6 − 2) × 180° = 720°。從一個頂點畫 3 條對角線會切成 4 個三角形，4 × 180° = 720°。
正六邊形每個內角幾度？
正六邊形的每個角都是 120 度。因為正六邊形的六個角一樣大，用總和 720° ÷ 6 = 120°。另外，它的外角每個都是 60°。
正六邊形可以切成幾個正三角形？
從六邊形的中心畫線連到六個頂點，就可以把它切成 6 個一樣大的正三角形。因為一圈圓角總共是 360°，分成 6 份，所以每個三角形的中心角都是 360° ÷ 6 = 60°。