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直角三角形公式卡
直角三角形的公式都來自兩件事：有一個角是直角，以及兩條直角邊互相垂直。面積的推導在三角形面積公式，周長的例題在三角形周長公式。國中會把直角邊叫做股，意思一樣。
邊長 3、4、5 的直角三角形和它的角度
邊長 3、4、5 的三角形一定是直角三角形，因為 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25，剛好等於 5 × 5。在地上量出 3、4、5 的長度拉成三角形，夾在 3 和 4 兩邊中間的角就是直角。
很多人以為它的兩個銳角是 30 度和 60 度，其實不是。用量角器量會得到大約 37 度和 53 度，更精確是約 36.87 度和 53.13 度，這兩個數要到高中學三角函數才算得出來。30 度和 60 度的直角三角形，最短邊會是斜邊的一半，而 3 並不是 5 的一半。
三邊都是整數的直角三角形
三邊長都是整數的直角三角形不多，最常見的是下面這幾組。國中學畢氏定理以後，可以用兩條直角邊各自平方再相加、等於斜邊平方來檢查。
常見的整數邊長組合，例如 3、4、5 和 5、12、13，整理在畢氏定理常見組合。
| 三邊長 | 檢查 | 面積 | 周長 |
|---|---|---|---|
| 3、4、5 | 9 + 16 = 25 | 6 | 12 |
| 6、8、10 | 36 + 64 = 100 | 24 | 24 |
| 9、12、15 | 81 + 144 = 225 | 54 | 36 |
| 5、12、13 | 25 + 144 = 169 | 30 | 30 |
| 8、15、17 | 64 + 225 = 289 | 60 | 40 |
6、8、10 和 9、12、15 是 3、4、5 放大 2 倍和 3 倍，形狀一樣，角度也一樣。
直角三角形的角度
三角形三個角加起來是 180 度，這是五年級學的。直角三角形的直角佔了 90 度，剩下的 90 度分給另外兩個角，所以這兩個角都比 90 度小，一定是銳角。也因為這樣，直角三角形不可能再有第二個直角或鈍角。
常用的一組三角板就是兩種常見的直角三角形：一片的角是 45 度、45 度、90 度，另一片是 30 度、60 度、90 度。想自己量角度可以看量角器，三角形為什麼是 180 度可以看三角形內角和。
直角三角形角度和面積例題
算面積時，先找出夾著直角的兩條邊，它們就是互相垂直的底和高。面積公式的完整說明在三角形面積公式。
例 1直角三角形的一個銳角是 35 度，另一個銳角是幾度？
- 兩個銳角相加是 180 − 90 = 90（度）
- 90 − 35 = 55（度）
答：55 度
例 2三角形的兩個角是 48 度和 42 度，它是不是直角三角形？
- 第三個角 = 180 − 48 − 42 = 90（度）
- 有一個角是 90 度，所以是直角三角形
答：是直角三角形
例 3直角三角形的三邊是 9 公分、12 公分、15 公分，面積是多少？最長邊上的高是多少？
- 最長的 15 公分是斜邊，兩條直角邊是 9 公分和 12 公分
- 面積 = 9 × 12 ÷ 2 = 54（平方公分）
- 改用斜邊當底，高 = 面積 × 2 ÷ 底 = 54 × 2 ÷ 15 = 7.2（公分）
答：面積 54 平方公分，最長邊上的高 7.2 公分
直角三角形計算機：用一般計算機怎麼算
數學王目前沒有直角三角形專用的計算機，用手機或一般計算機照下面的方法就能算。要注意簡易計算機會照按鍵的順序算，3 × 3 + 4 × 4 直接連按會得到 52 而不是 25，所以平方要分開算好再相加。
- 求面積：直角邊 × 直角邊 ÷ 2，例如 9 × 12 ÷ 2 = 54。
- 求另一個銳角：90 − 已知的銳角，例如 90 − 35 = 55。
- 已知兩條直角邊求斜邊（國中）：先算 3 × 3 = 9 和 4 × 4 = 16，再算 9 + 16 = 25，最後按根號鍵 √ 得到 5。
- 已知斜邊和一條直角邊求另一邊（國中）：先算 13 × 13 = 169 和 5 × 5 = 25，再算 169 − 25 = 144，按 √ 得到 12。
30 度、60 度、90 度的直角三角形
三角板的其中一片就是 30 度、60 度、90 度的直角三角形。拿兩片一樣的拼在一起，會拼成一個正三角形，三個角都是 60 度、三條邊一樣長。原來的斜邊是正三角形的一條邊，最短的直角邊只有正三角形一條邊的一半，所以 30 度角對面的邊是斜邊的一半，這一點用拼圖就看得出來。
三條邊完整的比是 1 : 根號 3 : 2，根號 3 約等於 1.732。例如最短邊 5 公分，斜邊是 10 公分，另一條直角邊約 8.66 公分。這個邊長比要先學根號和畢氏定理，108 課綱放在國中三年級，更多例子可以看直角三角形比例。
直角三角形的外心和重心（國中內容）
外心是三角形外接圓的圓心，也就是到三個頂點一樣遠的點。直角三角形的外心剛好在斜邊的正中間，所以外接圓的半徑是斜邊的一半。例如三邊 9、12、15 公分的直角三角形，外心到三個頂點都是 7.5 公分。
重心是三條中線的交點，中線是從頂點連到對邊中點的線段。從直角頂點連到斜邊中點的那條中線，長度也是斜邊的一半；重心在這條線上離直角頂點三分之二的地方，所以重心到直角頂點的距離是斜邊的三分之一，上面的例子是 15 ÷ 3 = 5 公分。外心和重心都在 108 課綱的國中三年級，國小不會考。
等腰三角形的角度、面積、底邊和高怎麼算
等腰三角形有兩條一樣長的腰，兩個底角一樣大。下面整理最常被問的幾種算法，完整的圖解和更多例題在等腰三角形。
| 要算什麼 | 算法 | 例子 |
|---|---|---|
| 底角 | (180 − 頂角) ÷ 2 | 頂角 40 度，底角是 (180 − 40) ÷ 2 = 70 度 |
| 頂角 | 180 − 底角 × 2 | 底角 50 度，頂角是 180 − 50 × 2 = 80 度 |
| 面積 | 底 × 高 ÷ 2 | 底 10 公分、高 12 公分，面積是 10 × 12 ÷ 2 = 60 平方公分 |
| 底邊長 | 周長 − 腰 × 2 | 周長 36 公分、腰 13 公分，底是 36 − 13 × 2 = 10 公分 |
| 底邊長（知道面積） | 面積 × 2 ÷ 高 | 面積 60 平方公分、高 12 公分，底是 60 × 2 ÷ 12 = 10 公分 |
| 高 | 面積 × 2 ÷ 底 | 面積 60 平方公分、底 10 公分，高是 60 × 2 ÷ 10 = 12 公分 |
| 高（只知道腰和底，國中） | 腰 × 腰 − (底 ÷ 2) × (底 ÷ 2)，再開根號 | 腰 13、底 10：13 × 13 − 5 × 5 = 144，高是 12 公分 |
最後一列要用畢氏定理，是國中二年級的內容，國小的題目會直接給高。
等腰三角形有固定的邊長比嗎？正三角形算等腰三角形嗎？
一般的等腰三角形沒有固定的邊長比，只要兩條腰一樣長就是等腰三角形，例如 5、5、3 或 5、5、8 都可以。唯一的限制是兩條腰加起來要比底長，因為三角形任意兩邊的和大於第三邊，所以腰是 5 公分時，底一定比 10 公分短。
有固定邊長比的是特別的等腰三角形。正三角形三邊是 1 : 1 : 1；等腰直角三角形兩條腰和斜邊是 1 : 1 : 根號 2，根號 2 約等於 1.414，要到國中學根號才會用到，詳細可以看等腰直角三角形。
正三角形是等腰三角形嗎？是。正三角形三條邊都一樣長，當然有兩條邊一樣長，所以正三角形是特別的等腰三角形，任何一條邊都可以當底。反過來，等腰三角形不一定是正三角形。
直角和三角形角度練習：試做 5 題
三年級的關卡在各種斜放的圖形裡數直角，五年級的關卡練三角形和四邊形的內角和，也會出扇形圓心角的題目。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
直角三角形的公式有哪些？
國小會用到的有三個：兩個銳角相加是 90 度，面積是直角邊 × 直角邊 ÷ 2，周長是三邊相加。用兩條直角邊算斜邊的畢氏定理是國中二年級的內容。
直角三角形 3 4 5 的角度是多少？
三個角是 90 度、約 36.87 度和約 53.13 度，不是 30 度和 60 度。30 度、60 度、90 度的直角三角形，最短邊會是斜邊的一半。
直角三角形的斜邊怎麼算？
國中用畢氏定理：兩條直角邊各自平方相加，再開根號。例如直角邊 3 和 4，3 × 3 + 4 × 4 = 25，斜邊是 5。國小的題目會直接給斜邊長。
正三角形是等腰三角形嗎？
是。正三角形三條邊都一樣長，一定有兩條邊一樣長，所以是特別的等腰三角形；但等腰三角形不一定是正三角形。