數學王不等號的意思和題目常見說法
做應用題時，題目很少直接寫大於或小於，而是用「至少」、「不超過」這類比較口語的說法。我們要先在腦中把這些文字翻成數學符號，這樣列式就不會出錯。另外，等號有沒有包含在內，決定了畫在數線上的圓點是空心還是實心。
| 符號 | 讀法 | 題目常見說法 | 數線上的圓點 |
|---|---|---|---|
| x > 3 | x 大於 3 | 超過 3、多於 3 | 空心，3 不算 |
| x < 3 | x 小於 3 | 少於 3、未滿 3 | 空心，3 不算 |
| x ≥ 3 | x 大於或等於 3 | 至少 3、不少於 3、3 以上 | 實心，3 也算 |
| x ≤ 3 | x 小於或等於 3 | 至多 3、不超過 3、3 以下 | 實心，3 也算 |
平常我們說的「3 以上」、「3 以下」，都是包含 3 本身的；但「未滿 3」就不包含 3 了。
不等式的性質：什麼時候要變號
解不等式時，也可以像解方程式一樣，兩邊同時做一樣的事，但乘或除負數是例外。我們用數字試試看就懂：3 > 1，如果兩邊同時乘以 −1，就會得到 −3 和 −1。此時 −3 < −1，大小關係反過來了，所以不等號也要跟著反過來。
在數線上畫出不等式的解
不等式的解有無限多個，所以我們用數線來表示。先在數線上找到分界的數，判斷要不要包含它：不包含就畫空心圓點，包含就畫實心圓點；再看是大於還是小於，大於往右畫，小於往左畫。
上面的數線是 x > 3，3 本身不是解，所以是空心圓點，往右延伸；下面的數線是 x ≤ 1，1 本身也是解，所以是實心圓點，往左延伸。數線的基本觀念可以複習數線。
一元一次不等式題目
解完之後可以挑兩個數檢查：一個在範圍裡，代進去要成立；一個在範圍外，代進去要不成立。分界的那個數也要試，確認等號有沒有包含。
例 1解 2x − 1 > 5
- 移項：2x > 5 + 1 = 6
- 兩邊同時除以正數 2，不等號的方向不用變：x > 3
- 檢查一下：如果 x = 4，算出來 2 × 4 − 1 = 7，7 > 5 是成立的；如果 x = 3，算出來 2 × 3 − 1 = 5，可是 5 > 5 是不成立的，所以 3 這個數不能算在裡面
答：x > 3
例 2解 −3x + 4 ≤ 10
- 移項：−3x ≤ 10 − 4 = 6
- 兩邊同時除以負數 −3，這時候不等號要反過來：x ≥ 6 ÷ (−3) = −2
- 檢查一下：如果 x = −2，算出來 −3 × (−2) + 4 = 10，10 ≤ 10 是成立的；如果 x = 0，算出來 4 ≤ 10 也是成立的；如果 x = −3，算出來 13 ≤ 10 就不成立了
答：x ≥ −2
例 3解 (x − 1)/2 ≥ (2x + 1)/3 − 1
- 我們把不等式兩邊都乘以 6，因為 6 是正數，所以不等號的方向不用變：3(x − 1) ≥ 2(2x + 1) − 6
- 把括號打開：3x − 3 ≥ 4x + 2 − 6，整理一下變成 3x − 3 ≥ 4x − 4
- 把含 x 的項移到一邊，常數移到另一邊：3x − 4x ≥ −4 + 3，算出來是 −x ≥ −1
- 兩邊同時乘以 −1，因為乘的是負數，不等號要反過來：x ≤ 1
- 檢查一下：當 x = 1 時，左邊是 0，右邊是 3/3 − 1 = 0，0 ≥ 0 是成立的；當 x = 2 時，左邊是 1/2，右邊是 5/3 − 1 = 2/3，1/2 ≥ 2/3 是不成立的
答：x ≤ 1
例 43x + 2 < 17 的正整數解有哪些？
- 移項：3x < 15
- x < 5
- 比 5 小的正整數是 1、2、3、4
- 檢查：x = 4 時 14 < 17 成立；x = 5 時 17 < 17 不成立
答：1、2、3、4
一元一次不等式應用題
解完應用題後，常常要回頭看看題目有沒有特別規定。比如說買東西的枝數、答對的題數，這些都只能是整數。如果你解出 x ≤ 9.1 這種範圍，就要再從裡面找出符合條件的整數。
例 1小明口袋裡有 500 元。他先花 180 元買了一本書，剩下的錢想拿來買每枝 35 元的筆。請問他最多可以買幾枝？
- 我們假設他買了 x 枝筆。因為他總共只有 500 元，所以買書的錢加上買筆的錢，總額不能超過 500 元。寫成算式就是：180 + 35x ≤ 500
- 35x ≤ 320，x ≤ 320/35，大約是 9.14
- 因為筆是一枝一枝買的，不能買半枝，所以 x 必須是整數。這樣看，最多只能買 9 枝
- 我們來檢查一下：如果買 9 枝，總共要花 180 + 315 = 495 元，沒有超過 500 元；但如果買 10 枝，就要花 530 元，錢就不夠了
答：最多 9 枝
例 2有一份考卷，上面有 20 題。每答對一題可以得到 5 分，答錯或不作答會扣 1 分。如果小明想拿到 70 分或更高的分數，他至少要答對幾題？
- 假設你答對了 x 題，那麼答錯或沒有答的題數就是 20 − x 題。
- 5x − (20 − x) ≥ 70
- 5x − 20 + x ≥ 70，6x ≥ 90，x ≥ 15
- 我們來檢查一下：如果答對 15 題，得分是 75 − 5 = 70 分，剛好達標；如果只答對 14 題，得分是 70 − 6 = 64 分，就不夠了。
答：至少答對 15 題
例 3健身房有兩種方案：甲方案每次 150 元；乙方案月費 600 元，每次另收 50 元。一個月去幾次以上，乙方案比較便宜？
- 假設一個月去 x 次，乙方案比較便宜：600 + 50x < 150x
- 600 < 100x，x > 6
- 次數是整數，所以去 7 次以上
- 檢查：去 6 次兩種都是 900 元；去 7 次甲 1050 元、乙 950 元，乙比較便宜
答：7 次以上
一元一次不等式和方程式的差別
一元一次不等式的解法幾乎和一元一次方程式一樣，差別只有兩個：解是一個範圍，要畫在數線上；乘除負數時不等號要反過來。最常見的錯就是 −x ≥ −1 直接寫成 x ≥ 1，忘了變號。為了避免這個錯，也可以把含 x 的項移到係數是正的那一邊，例如 3x − 3 ≥ 4x − 4 改寫成 −3 + 4 ≥ 4x − 3x，得到 1 ≥ x，結果一樣是 x ≤ 1。
常見問題
不等號什麼時候要變號？
兩邊同乘或同除以負數的時候。例如 −3x ≤ 6，兩邊同除以 −3，變成 x ≥ −2。移項和同乘除正數都不用變號。
數線上什麼時候畫空心、什麼時候畫實心？
如果算式裡有 > 或 <，代表不包含那個剛好分界的數字，所以在數線上要畫一個空心的圓點。如果算式裡有 ≥ 或 ≤，代表包含那個分界的數字，所以要畫一個實心的圓點。
一元一次不等式是幾年級學的？
在 108 課綱裡，這個主題是排在國中七年級學的。內容會教你不等式是什麼意思、怎麼解只有一個未知數的一次不等式、怎麼在數線上畫出答案的範圍，還有怎麼用這些知識解決生活中的問題。