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等差數列是什麼
把數字按照順序排成一排，叫做數列。排在第 1 個的數字叫做首項，我們寫成 a₁；排在第 n 個的數字叫做第 n 項，寫成 aₙ；如果這排數字有結束，最後一個數字叫做末項。如果後面每一個數字減去前面那個數字，得到的差都一樣大，這個數列就是等差數列。這個固定的差叫做公差，通常用 d 表示。
公差可以是正數、負數或 0。看 2、5、8、11 這組，公差是 3，數字越來越大；20、17、14、11 這組，公差是 −3，數字越來越小；6、6、6、6 這組，公差是 0，因為數字沒變，也算等差數列。再看 1、2、4、8，相鄰兩項的差是 1、2、4，不一樣，所以它不是等差數列。這組數字是每次乘 2，叫做等比數列。
等差數列公式整理
從首項開始，每往後走一項，就要加一次公差：a₂ = a₁ + d，a₃ = a₁ + 2d，a₄ = a₁ + 3d，所以第 n 項要加 n − 1 次公差。最容易犯的錯誤是寫成 a₁ + nd。你可以用第 1 項來檢查：當 n = 1 時，答案應該是 a₁ 本身，只有 a₁ + (1 − 1)d = a₁ 才是正確的。
樓梯的等差數列
看這座小樓梯，第 1 階高 3，第 2 階高 5，第 3 階高 7，第 4 階高 9，第 5 階高 11。每一階都比前一階多 2，所以公差 d 是 2。像這樣每次增加相同數字的排列，就是等差數列。
等差數列公差公式
算公差最直接的方法，就是用後面那一個數減掉前面那一個數。如果你知道第一個數和第 n 個數，它們中間隔了 n − 1 個公差，所以公差 = (第 n 項 − 首項) ÷ (n − 1)。如果算出來是負數，代表這個數列的數字越來越小。
依照 108 課綱，就是我們現在使用的教學標準，國中階段不會出這種題目：只給兩個不相鄰的項，而且都不是首項，要你再反過來求首項或公差。
等差數列題目
做等差數列題目時，先寫出首項 a₁ 和公差 d，再判斷題目要求的是第幾項、公差還是項數，然後套進對應的公式。
例 1有一個等差數列，就是每次加固定的數。這個數列是 3、7、11、15…，請問第 20 個數是多少？
- 第一個數叫首項，記作 a₁ = 3。每次增加的固定數叫公差，記作 d = 7 − 3 = 4。
- 第 20 個數 a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79。
答：79
例 2有一個等差數列，就是每次加固定的數。這個數列是 50、47、44…，請問第 10 個數是多少？
- 第一個數叫首項，記作 a₁ = 50。每次改變的固定數叫公差，記作 d = 47 − 50 = −3。
- 第 10 個數 a₁₀ = 50 + (10 − 1) × (−3) = 50 − 27 = 23。
答：23
例 3等差數列 5、8、11、…、101 一共有幾項？
- 第一項是 5，最後一項是 101，公差（就是每次增加的固定數字）是 8 − 5 = 3
- n = (101 − 5) ÷ 3 + 1 = 96 ÷ 3 + 1 = 32 + 1 = 33
答：33 項
例 4等差數列的首項是 4，第 9 項是 28，公差是多少？
- 從第 1 項走到第 9 項，中間一共走了 9 − 1 = 8 步，所以有 8 個公差
- d = (28 − 4) ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3
- 我們來檢查一下：4 + 8 × 3 = 28。
答：3
例 5劇場的第一排有 20 個座位，後面每一排都比前一排多 2 個，請問第 15 排有幾個座位？
- 每一排的座位數排起來，就像一個等差數列。等差數列就是一串數字，後面每個數字都比前面那個多固定的數量。這裡第一排是 20，所以首項是 20，後面每排多 2 個，所以公差是 2。
- 第 15 排的座位數 a₁₅ = 20 + (15 − 1) × 2 = 20 + 28 = 48。
答：48 個
例 63、x、11 這三個數字排起來是等差數列，x 是多少？
- x 就是 3 和 11 中間的那個數字，我們稱它為等差中項。
- x = (3 + 11) ÷ 2 = 7
- 檢查：7 − 3 = 4，11 − 7 = 4，公差相同
答：7
等差數列和等比數列比一比
國二會一起學等差數列和等比數列，這兩個很容易弄混。等差數列是每次加同一個數，等比數列是每次乘同一個數。判斷的時候，先算相鄰兩項的差，如果差都一樣就是等差數列；如果不一樣，再算相鄰兩項的比。
| 比較 | 等差數列 | 等比數列 |
|---|---|---|
| 規律 | 每次加同一個數 | 每次乘同一個數 |
| 關鍵的數 | 公差 d = 後項 − 前項 | 公比 r = 後項 ÷ 前項 |
| 第 n 項 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ × r 的 (n − 1) 次方 |
| 例子 | 2、5、8、11 | 2、6、18、54 |
| 總和公式 | 等差級數公式，國二學 | 等比級數公式，高一學 |
相關主題
等差數列是國二數列單元的第一課，後面兩個主題都是從這裡延伸出來的。
常見問題
等差數列公式是什麼？
第 n 項 aₙ = a₁ + (n − 1)d，意思就是第一個數字加上 n − 1 個公差。舉例來說，3、7、11…這個序列的第 20 項是 3 + 19 × 4 = 79。
等差數列的公差怎麼算？
用後面那個數字減前面那個數字，例如 50、47、44 的公差是 47 − 50 = −3。如果你知道第一個數字和第 n 個數字，公差 = (第 n 項 − 首項) ÷ (n − 1)。
等差數列總和公式是什麼？
總和 = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2。例如 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050。
等差數列是幾年級學的？
依照 108 課綱，數列、等差數列、等差級數和等比數列都是國二學的；等比級數的求和則是高一才學。