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等比數列公式

等比數列是每一項除以前一項的商都相同的數列，這個固定的商叫做公比，用 r 表示。等比數列公式是 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹，也就是第 n 項 = 首項 × 公比的 n − 1 次方。例如 2、6、18、54…，首項是 2、公比是 3，第 6 項是 2 × 3⁵ = 486。

按照 108 課綱的安排，等比數列是國二才會學的，國中的時候只學怎麼用首項和公比算出第 n 項。至於把等比數列裡的數字全部加起來，也就是等比數列的和、前 n 項和公式，那是高一才學的。這一頁下面先整理求和的公式和想出公式的方法，更完整的說明在等比級數公式。如果是每次加同一個數的版本，則在等差數列公式。

先看重點

  • 公比 r = 後項 ÷ 前項，你拿任何相鄰的兩個數字來算，結果都會一樣；等比數列裡的每一個數字和公比都不能是 0。
  • 第 n 項 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹，這表示從首項開始，到第 n 項為止，總共乘了 n − 1 次公比。
  • 如果公比是負數，數列裡的數字就會正負正負輪流出現；如果首項是正數、公比在 0 和 1 之間，數列裡的數字就會越來越小。
  • 前 n 項和 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，這裡要注意 r 不能等於 1，這是高一的學習內容。

等比數列是什麼

如果一個數列裡，後面那項除以前面那項得到的商每次都一樣，這就是等比數列。這個固定的商叫做公比。比如 2、6、18、54，每次都是乘 3，所以公比是 3。再比如 64、32、16、8，每次都是乘 1/2，公比就是 1/2。還有 3、−6、12、−24，每次都是乘 −2，公比是 −2，因為有負號，所以正負號會交替出現。

等比數列裡的每一項都不能是 0。為什麼呢？因為算公比要用後面那項除以前面那項，而除法裡除數不能是 0。生活中也有這種情況，像細胞分裂，一個變兩個，數量就是公比 2 的等比數列。或者一張紙每對折一次，厚度就變成 2 倍，這也是公比 2 的等比數列。

等比數列公式整理

從第一個數開始，每往後走一步，就要乘一次公比。第二項 a₂ 等於 a₁ × r，第三項 a₃ 等於 a₁ × r²，第四項 a₄ 等於 a₁ × r³。所以，第 n 項就是首項乘了 n − 1 次公比。我們用 n = 1 來檢查一下，a₁ × r⁰ = a₁ × 1 = a₁，結果是正確的。

第 n 項aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹第 n 項 = 首項 × 公比的 n − 1 次方
公比r = a₂ ÷ a₁ = a₃ ÷ a₂後項除以前項，順序不能反
等比中項b² = a × ca、b、c 成等比數列時成立，例如 2、6、18：6² = 36 = 2 × 18
前 n 項和Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，r ≠ 1這個知識點是到了高中一年級才會學的。如果公比 r 等於 1，代表每一項數字都一模一樣，這時候前 n 項的總和 Sₙ 就是 n 乘以第一項 a₁。

每次變兩倍的方塊堆

我們來玩一個方塊遊戲！第一堆有 1 個方塊，第二堆有 2 個，第三堆有 4 個，第四堆有 8 個。你發現了嗎？每一堆都是前一堆的 2 倍！這個「2」叫做公比，表示每次都要乘以 2 呢。

1 2 4 8 ×2 ×2 ×2 公比 r = 2
方塊數量每次乘以 2，公比是 2

等比數列例題

我們先找出第一項 a₁ 和公比 r，然後把數字代進公式 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ 裡。公比就是後面一項除以前一項得到的數字。如果公比是分數或者負數，算次方的時候要把整個括號一起算，比如 (−2)⁶ = 64。

例 1有一個等比數列是 2、6、18、54…，請問第 6 項是多少？

  1. 第一項 a₁ = 2，公比 r = 6 ÷ 2 = 3
  2. a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486

答：486

例 2有一個等比數列是 3、−6、12…，請問第 7 項是多少？

  1. 第一項 a₁ = 3，公比 r = −6 ÷ 3 = −2
  2. a₇ = 3 × (−2)⁶ = 3 × 64 = 192

答：192

例 3等比數列 64、32、16…，第 8 項是多少？

  1. 第一項 a₁ = 64，公比 r = 32 ÷ 64 = 1/2
  2. a₈ = 64 × (1/2)⁷ = 64 ÷ 128 = 1/2

答：1/2

例 4一種細菌每小時數量變成 2 倍，一開始有 5 隻，6 小時後有幾隻？

  1. 1 小時後 10 隻，當作首項，公比 2
  2. 6 小時後的數量是第 6 項。我們用首項 10 乘以公比 2 的五次方，算式是 10 × 2⁵ = 10 × 32 = 320。
  3. 你也可以換個角度想：原本是 5 隻，經過 6 次翻倍，就是 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320。

答：320 隻

例 52、x、18 這三個數排在一起成等比數列，請問 x 是多少？

  1. x 是等比中項：x² = 2 × 18 = 36
  2. x = 6 或 x = −6
  3. 我們來檢查一下：2、6、18 這三個數字，後一個除以前一個都是 3，所以公比是 3；2、−6、18 這三個數字，後一個除以前一個都是 −3，所以公比是 −3。這兩個序列都是等比數列。

答：6 或 −6

等比數列的和：前 n 項和公式

把等比數列的數字全部加起來，這個總和又叫做等比級數。雖然 108 課綱是排在高中一年級才學，國中沒有教，但這裡先整理出來，給想要提前預習的讀者看。公式是 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，這裡要注意 r 不能等於 1。我們想出這個公式的方法，是把總和乘上公比，然後再相減：先寫出 Sₙ = a₁ + a₁r + … + a₁rⁿ⁻¹，再算出 r × Sₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ。用下面那行減掉上面那行，中間的項全部消掉了，最後剩下 r × Sₙ − Sₙ = a₁rⁿ − a₁，所以 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)。

如果公比小於 1，我們常把公式寫成 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)。這是因為分子和分母同時變號，算出來的值完全一樣。如果是無限多項一直加下去的無窮等比級數，我們放在等比級數公式裡面說明。

例 11 + 2 + 4 + … + 512 = ?

  1. 首項是 1，公比是 2。因為 512 = 2⁹，所以 512 是第 10 項。
  2. S₁₀ = 1 × (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 1024 − 1 = 1023

答：1023

例 23 + 6 + 12 + 24 + 48 = ?

  1. 首項 3，公比 2，共 5 項
  2. S₅ = 3 × (2⁵ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 31 = 93
  3. 檢查：直接相加 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93

答：93

例 31 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = ?

  1. 首項 1，公比 1/2，共 4 項
  2. S₄ = 1 × (1 − (1/2)⁴) ÷ (1 − 1/2) = (15/16) ÷ (1/2) = 15/8

答：15/8

相關主題

等比數列和等差數列都是國二才會學的。要分辨它們時，先看看相鄰兩項差多少。如果每次加的數不一樣，就要改算相鄰兩項的比，看看是不是每次乘同一個數。

  • 等差數列公式：就是每次加同一個數的數列。第 n 項 = 首項 + (n − 1) × 公差。
  • 等差級數公式：是等差數列加起來的總和，國二才會學。
  • 等比級數公式：是等比數列加起來的總和，還有無限加下去的情況，要到高一才會學。
  • 找規律題目：國小常玩的乘幾倍遊戲，例如 1、2、4、8、16，其實就是等比數列。

常見問題

等比數列公式是什麼？

算出第 n 項的公式是 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹。這裡的 a₁ 是第一個數字，r 是每次乘的倍數，也就是公比。公式的意思是：用第一個數字，乘上公比的 (n − 1) 次方。舉個例子，如果數字是 2、6、18…，要算第 6 項，就是 2 × 3⁵ = 486。

等比數列前 n 項和公式是什麼？

算出前 n 項總和的公式是 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，不過這個公式只能用在 r 不等於 1 的時候。如果 r = 1，那總和就是 Sₙ = n × a₁。這是高中一年級才會學的內容，國中的時候我們只學等比數列的第 n 項。

等比數列是國中還是高中學的？

按照 108 課綱的安排，等比數列是在國二學的，主要教怎麼用首項和公比求第 n 項。至於把這些項加起來的總和，也就是等比級數，則是到高中一年級才會學。

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