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等差級數公式

等差級數就是把等差數列裡的每一個數字全部加起來的總和。它的公式是 Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2，換句話說就是 (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2。舉個例子，1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050。如果你不知道最後一個數字是多少，可以改用 Sₙ = [2a₁ + (n − 1)d] × n ÷ 2 這個公式。

依照 108 課綱，等差級數求和是國二才會學的課程，它緊接著等差數列公式後面。這個公式長得跟我們在國小學過的梯形面積公式 (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 很像，你可以用梯形的形狀來幫助記憶。如果是每次都要乘以同一個數字的數列，求總和時要用等比級數公式，那是到了高一才會學的內容。

先看重點

  • Sₙ = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2。
  • 不知道末項：Sₙ = [2 × 首項 + (n − 1) × 公差] × n ÷ 2。
  • 項數不知道，先用 n = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1 算出來。
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2；前 n 個奇數 1 + 3 + 5 + … 的和是 n²。

等差級數公式整理

Sₙ 代表前 n 項加起來的總和。等差級數總和公式、等差級數和公式、前 n 項的和公式，說的其實都是同一組公式。如果你知道第一項和最後一項，就用第一個公式；如果你知道第一項和公差，就用第二個。這兩個公式其實是一樣的，因為第二個公式只是把 aₙ = a₁ + (n − 1)d 這個關係式代進第一個公式裡。

知道首項、末項Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2(首項 + 末項) × 項數 ÷ 2
知道首項、公差Sₙ = [2a₁ + (n − 1)d] × n ÷ 2不用先算末項
1 加到 n1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2例如 1 加到 10 = 10 × 11 ÷ 2 = 55
前 n 個奇數1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²例如 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

為什麼是 (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2

把 1 + 2 + 3 + 4 + 5 排成一層一層的階梯，再拿一份一模一樣的階梯倒過來，和原來的拼在一起。每一行都剛好是 1 + 5 = 6 格，一共 5 行，拼成 5 × 6 = 30 格的長方形。這個長方形是兩份的總和，所以一份是 30 ÷ 2 = 15。

這個方法用在任何等差級數都一樣。你可以把數字正著寫一次，再倒過來寫一次，然後把上下兩行的數字對齊相加。你會發現，每一對數字加起來的結果，都等於第一項加上最後一項。因為一共有 n 個數字，所以加完後會有 n 對。最後只要把總和除以 2，就得到答案了。如果把階梯形狀看成梯形，最上面的邊就是首項，最下面的邊是末項，階梯的層數就是高。這樣算出來，和梯形面積公式 (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 是一模一樣的。

123456 格5 行1 + 2 + 3 + 4 + 55 + 4 + 3 + 2 + 1合起來 5 × 6 = 30 格一份 = 30 ÷ 2 = 15
兩份 1 + 2 + 3 + 4 + 5 拼成 5 × 6 的長方形，一份是 30 ÷ 2 = 15

高斯加法：頭尾配對

大家常聽到的故事是，德國數學家高斯小時候，老師要全班把 1 一直加到 100，他很快就算出答案 5050。他用的是頭尾配對的方法：把 1 和 100 加在一起、2 和 99 加在一起、3 和 98 加在一起，以此類推。你會發現，每一對數字加起來都是 101。因為 1 到 100 一共有 100 個數，剛好可以配成 50 對，所以總和就是 101 × 50 = 5050。這個故事流傳的版本很多，細節不一定是真實的經過，但頭尾配對的算法完全正確，也正是等差級數公式的想法。

  • 1 + 100 = 101
  • 2 + 99 = 101
  • 3 + 98 = 101
  • 我們一直把數字配對，配到 50 + 51 = 101 為止。
  • 總共有 50 對，所以算式是 101 × 50 = 5050。

等差級數例題

解題時，先看看題目有沒有給首項、末項和項數。如果三個都有，就直接代進公式計算。如果少了末項，就用首項和公差的公式來算。如果少了項數，就要先算出項數是多少。

例 11 + 2 + 3 + … + 100 = ?

  1. 首項是 1，末項是 100，項數是 100。
  2. S = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 101 × 50 = 5050

答：5050

例 23 + 7 + 11 + … + 79 = ?

  1. 首項 3，公差 4，末項 79
  2. 一共有多少個數字呢？用 (79 − 3) ÷ 4 + 1 = 19 + 1 = 20 來算
  3. 總和 S = (3 + 79) × 20 ÷ 2 = 82 × 10 = 820

答：820

例 31 + 3 + 5 + … + 19 = ?

  1. 首項 1，公差 2，末項 19
  2. 項數 n = (19 − 1) ÷ 2 + 1 = 10
  3. 現在算總和。把第一個數字 1 和最後一個數字 19 加起來，再乘以項數 10，最後除以 2。算出來是 S = (1 + 19) × 10 ÷ 2 = 100，剛好是 10²。

答：100

例 4等差數列首項 2、公差 3，前 10 項的和是多少？

  1. S₁₀ = [2 × 2 + (10 − 1) × 3] × 10 ÷ 2
  2. = (4 + 27) × 5 = 31 × 5 = 155
  3. 我們來檢查一下。先算出第 10 個數字：末項 a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29。用第一個數字 2 加上最後一個數字 29，再乘以 10 除以 2，得到 (2 + 29) × 10 ÷ 2 = 155。結果一樣，所以答案是對的。

答：155

例 5劇場第一排有 20 個座位，後面每排多 2 個，一共 15 排，總共有幾個座位？

  1. 第 15 排：20 + (15 − 1) × 2 = 48
  2. 總和 = (20 + 48) × 15 ÷ 2 = 68 × 15 ÷ 2 = 510

答：510 個

例 6100 + 95 + 90 + … + 5 = ?

  1. 首項 100，公差 −5，末項 5
  2. 項數 n = (5 − 100) ÷ (−5) + 1 = 19 + 1 = 20
  3. S = (100 + 5) × 20 ÷ 2 = 105 × 10 = 1050

答：1050

例 71 到 100 之間所有 3 的倍數，加起來是多少？

  1. 3 的倍數是 3、6、9、…、99，首項 3、公差 3、末項 99
  2. 項數 n = (99 − 3) ÷ 3 + 1 = 32 + 1 = 33
  3. S = (3 + 99) × 33 ÷ 2 = 102 × 33 ÷ 2 = 1683

答：1683

等差級數常見錯誤

等差級數的公式其實不難，大家常常只是算錯項數，或者把加減號寫反了。寫完答案後，你可以挑幾個小數字自己驗算一下，看看公式有沒有用錯。例如 1 + 2 + 3 + 4 = 10，套公式 (1 + 4) × 4 ÷ 2 = 10。

  • 項數少算 1：5、8、11、…、101 的項數是 (101 − 5) ÷ 3 + 1 = 33，不是 32。
  • aₙ 和 Sₙ 搞混：aₙ 是第 n 項這一個數，Sₙ 是前 n 項全部加起來的和。
  • 公差是負數時忘了變號：100、95、90 的公差是 −5，項數公式要除以 −5。
  • 首項和公差都是整數時，(首項 + 末項) × 項數 一定是偶數，先乘再除 2 不會有小數；算出小數就表示前面算錯了。
  • 依 108 課綱，國中不處理已知總和、反過來求首項、項數或公差的題目，遇到這種題目屬於延伸練習。

相關主題

等差級數接在等差數列後面學，和下面幾頁一起看更清楚。

  • 等差數列公式：用來算第 n 項、公差和項數的公式。
  • 等比數列公式：每次都要乘同一個數的數列。
  • 等比級數公式：把等比數列加起來的和，通常在高中一年級學。
  • 梯形面積公式：(上底 + 下底) × 高 ÷ 2，它的樣子和等差級數公式長得很像。

常見問題

等差級數公式是什麼？

Sₙ = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2。如果不知道末項是多少，就用 Sₙ = [2 × 首項 + (n − 1) × 公差] × n ÷ 2。

1 加到 100 等於多少？

5050。用頭尾配對的方法，1 + 100、2 + 99…每一對加起來都是 101，一共有 50 對，所以 101 × 50 = 5050。

等差數列和等差級數差在哪裡？

等差數列就是一排數字，它們之間的差距都一樣，例如 1、2、3、…、100。等差級數就是把這些數字全部加起來，例如 1 + 2 + 3 + … + 100 = 5050。

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