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平均數是什麼：移多補少
平均的意思就是把東西重新分，讓每個人得到的數量一樣多。假設四個小朋友分別有 5、8、3、4 顆糖。那個有 8 顆糖的小朋友拿出 3 顆，給只有 3 顆糖的小朋友 2 顆，再給有 4 顆糖的小朋友 1 顆。這樣分完以後，四個小朋友就都變成 5 顆糖了。這個 5 就是這四個數的平均數。
這種把多的拿出來補給少的做法，叫做移多補少。剛開始學平均的時候，你可以用積木或糖果實際分一分，這樣很好懂。可是如果數字很多，一個一個移來移去會太慢。這時候就可以改用算的：先把所有的糖合起來，算式是 5 + 8 + 3 + 4 = 20 顆。然後把這 20 顆糖平分給 4 個人，算式是 20 ÷ 4 = 5 顆。你會發現，算出來的答案和移多補少得到的結果是一樣的。
平均數公式
平均數的公式其實只有一條，另外兩條公式就是把這一條倒過來用。如果題目給你平均數，要你求總和；或者給你總和和平均數，要你求個數。遇到這種題目，你只要從這三條公式裡面選一條合適的來算就可以了。
算術平均數是平均數的正式名稱。我們這樣叫它，是為了要和後面會介紹的幾何平均數、調和平均數區分開來。在國小的數學課裡面，我們說的「平均」，指的就是算術平均數。
移多補少求平均
四根長條的高度是 6、2、5、3。把高出虛線的部分剪下來，移去補低的長條：6 多出 2，剛好補給 2；5 多出 1，剛好補給 3。補好以後四根一樣高，都是 4，這個 4 就是平均數，和 (6 + 2 + 5 + 3) ÷ 4 = 4 算出來一樣。
平均數怎麼算：例題
下面這四題是國小數學裡最常遇到的平均數題目。第二題和第三題比較難，因為要先用平均數 × 個數算出總和，這裡是小朋友最容易卡住的地方。
例 1小明四次數學小考分別考了 85、90、78、95 分，他的平均幾分？
- 先算總分：85 + 90 + 78 + 95 = 348（分）
- 再算平均：348 ÷ 4 = 87（分）
答：87 分
例 2小華前三次小考平均 84 分，第四次要考幾分，四次加起來的平均才會是 86 分？
- 先算出前三次考試加起來的總分：84 × 3 = 252（分）
- 想要四次考試的平均分是 86 分，那四次的總分就要是 86 × 4 = 344（分）
- 第四次要考多少分呢？用四次的總分減去前三次的總分：344 − 252 = 92（分）
- 我們來檢查一下：(252 + 92) ÷ 4 = 344 ÷ 4 = 86（分）
答：92 分
例 3甲組有 3 個人，平均分是 80 分；乙組有 2 個人，平均分是 90 分。如果把兩組的 5 個人合在一起，平均幾分？
- 先算出甲組 3 個人的總分：80 × 3 = 240（分）
- 乙組的總分是：90 × 2 = 180（分）
- 把兩組的分數加起來再除以總人數，算出來的平均是：(240 + 180) ÷ 5 = 420 ÷ 5 = 84（分）
- 如果你直接用 (80 + 90) ÷ 2 = 85 來算，這樣是錯的。因為甲組的人比較多，所以整體的平均數會被拉得比較靠近 80。
答：84 分
例 4有四袋彈珠，分別裝了 3、4、6、8 顆，請問平均每袋有幾顆？
- 先把所有彈珠加在一起算總數：3 + 4 + 6 + 8 = 21（顆）
- 用總數除以袋數，算出平均：21 ÷ 4 = 5.25（顆）
- 檢查一下：5.25 這個數字比最小的 3 大，也比最大的 8 小，所以在它們中間，很合理。
答：5.25 顆
平均數符號
在國小寫平均數時，不用特別畫符號，直接寫「平均」兩個字就可以。等到上國中、高中，或是讀統計的書時，才會用符號來表示。下面是最常看到的三個符號。
在國中七年級學平均數時，課程也會教用計算機的 M+ 鍵或 Σ 鍵來算平均。那個 x 上面加一橫的符號，一般唸成 x bar。
中位數和平均數的差別
平均數、中位數、眾數都可以用一個數字來代表一整組資料。不過，中位數和眾數要等到國中七年級才會學。中位數就是把資料從最小排到最大，站在最中間的那個數字。如果資料的個數是雙數，就要取中間兩個數字的平均數。舉例來說，3、5、7、9 的中位數是 (5 + 7) ÷ 2 = 6。眾數則是出現次數最多的那個數字。
什麼時候看中位數會比較好呢？假設五個孩子的零用錢分別是 100、120、130、150、1000 元。算出來的平均數是 1500 ÷ 5 = 300 元。可是，五個人裡面有四個人的零用錢都不到 300 元。這是因為 1000 元特別多，把平均數拉高了。中位數是 130 元，比較能代表大部分人的情況。
| 名稱 | 怎麼算 | 以 2、3、3、5、7 為例 |
|---|---|---|
| 平均數 | 全部加起來除以個數 | (2 + 3 + 3 + 5 + 7) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4 |
| 中位數 | 從小排到大，取正中間的數 | 第 3 個數是 3 |
| 眾數 | 出現最多次的數 | 3 出現 2 次，眾數是 3 |
國小只學平均數；中位數和眾數在國中七年級學。
平均數和標準差
平均數告訴我們資料大概集中在哪裡，標準差則告訴我們資料分散得多開。我們來看這兩組分數：甲組是 6、7、8、9、10，乙組是 2、5、8、11、14。兩組的平均數都是 8，但是甲組的分數都擠在 8 附近，乙組卻散得很開。如果只看平均數，是看不出這個差別的。
標準差的算法是先算每個數字和平均數相差多少，把差值平方後取平均，最後再開根號。甲組和平均數的差是 −2、−1、0、1、2，平方後加起來是 10，除以 5 得 2，開根號約 1.41。乙組的差是 −6、−3、0、3、6，平方後加起來是 90，除以 5 得 18，開根號約 4.24。乙組的標準差比較大，表示分數比較分散。
標準差要用到負數、平方和開根號，這些在國小不教，國中也還沒學。依照 108 課綱，要等到高中一年級的數據分析才會學。這裡使用的是除以資料個數的算法。在統計上，如果把資料當成樣本時，有時會改除以個數減 1，這樣算出來會稍微大一點。
樣本平均數是什麼
如果想知道全校 600 個學生平均有多高，最準確的方法是把 600 個人全部量一次。這全部的資料叫做母體，算出來的結果就是母體平均數。如果時間不夠，我們就隨機挑 50 個人來量。這 50 個人叫做樣本，他們的平均身高就是樣本平均數，我們用這個數字來猜全校大概的平均身高。
算樣本平均數的方法，和我們國小時學的平均數完全一樣，都是把總和除以個數。差別只在於資料是全部的人，還是只挑出來的一部分。挑的人越多、越隨機，樣本平均數通常就越接近母體平均數。這個觀念在國小和國中都不會教，是高中以上才學的統計知識。新聞裡看到的民調和抽查，用的就是這個想法。
調和平均數和平均速度
調和平均數在國小和國中都不會教，108 課綱也沒有列出這個名稱，它屬於進階的延伸內容。不過，當你在六年級學平均速度的時候，其實已經遇到過它：如果去和回的路程一樣長，但去的速度和回的速度不一樣，那平均速度就不是把兩個速度加起來再除以 2。
國小算平均速度的方法是總距離除以總時間，詳細可以看速度公式。兩個數的調和平均數公式是 2 ÷ (1/a + 1/b)，算出來的結果和總距離除以總時間是一樣的。如果把三種平均放在一起比較，對於兩個不同的正數，算術平均數最大、幾何平均數其次、調和平均數最小。例如 30 和 60 分別是 45、約 42.43 和 40。
例 1爸爸開車去 60 公里外的阿嬤家，去程時速 30 公里，回程時速 60 公里，來回的平均時速是多少公里？
- 去程時間：60 ÷ 30 = 2（小時）
- 回程時間：60 ÷ 60 = 1（小時）
- 平均時速：總距離 ÷ 總時間 = (60 + 60) ÷ (2 + 1) = 120 ÷ 3 = 40（公里）
- 用調和平均數驗算：2 ÷ (1/30 + 1/60) = 2 ÷ 1/20 = 40（公里）
- 直接算 (30 + 60) ÷ 2 = 45 是錯的，因為慢的去程花的時間比較長
答：時速 40 公里
還有哪些平均
除了我們常算的那種平均，還有兩種常被提到的。加權平均是用在每個數的重要程度不一樣的時候，就像期末考的分數比平時考的分數佔的比例大；兩組人數不同的合併平均，其實也是加權平均。幾何平均數是用在連續變大的倍數，例如第一年變 2 倍、第二年變 8 倍，平均每年是幾倍。這兩種在國小都沒有教這個名稱，點進去有用國小算法就看得懂的例子。
平均數練習：試做 5 題
五年級的「併式和分配律」關卡裡有求平均的題目，例如求四個數的平均，也練把幾個步驟寫成一個算式。五年級的時間挑戰也會出現平均題，可以練算得又快又準。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
平均數怎麼算？
算平均數的方法是：先把所有的數字加起來，再除以這些數字的個數。舉個例子，如果有 85、90、78、95 這四個數字，它們的平均數就是 (85 + 90 + 78 + 95) ÷ 4 = 348 ÷ 4 = 87。
平均數是幾年級學的？
按照 108 課綱的規劃，我們在小學五年級會學習平均的概念，六年級會學習平均速度。到了國中七年級，會再學習中位數和眾數。等到高中一年級時，才會學習標準差。
平均數和中位數哪個比較好？
如果資料裡沒有特別大或特別小的數字，平均數和中位數的數值通常差不多，這時候用平均數就可以了。但如果資料裡有特別極端的數字，例如大部分人的零用錢是一兩百元，只有一個人有一千元，平均數會被那個一千元拉得很高，這時候看中位數比較能代表大多數人的情況。
平均數一定是整數嗎？
平均數不一定是一個整數。例如 3、4、6、8 的平均數是 21 ÷ 4 = 5.25，它可以是小數或分數。平均數也不一定是資料裡出現過的數字，但它一定介於最小和最大的數之間。