數學王幾何平均數公式
開根號其實就是在問一個問題：哪一個數字自己乘自己，會得到這個數呢？舉個例子，36 開根號是 6，因為 6 × 6 = 36。如果你還沒學過根號也沒關係，只要用九九乘法表想一想「幾乘幾等於 36」，就能找到答案了。
算術平均數是把數字加起來再平分，幾何平均數則是把數字乘起來，再平分成幾個一樣的數相乘。所以，一個是用加法想的，另一個是用乘法想的。
圖解：長方形變成面積一樣的正方形
幾何平均數裡的「幾何」可以用圖形來理解。假設有一個長 8 公分、寬 2 公分的長方形，它的面積是 2 × 8 = 16 平方公分。如果我們要畫一個面積一樣大的正方形，它的邊長要是多少呢？因為 4 × 4 = 16，所以邊長要是 4 公分。這個 4 就是 2 和 8 的幾何平均數。
如果我們用算術平均數 (2 + 8) ÷ 2 = 5 當作正方形的邊長，那它的面積就是 5 × 5 = 25 平方公分，這比原本的 16 大太多了。所以，當我們要把兩個數相乘的時候，要改用幾何平均數，這樣算出來的結果才會剛剛好。
幾何平均數怎麼算：例題
前面三題的數字都選得很剛好，用九九乘法表就能找到答案；第四題算出來不是整數，要用計算機的 √ 鍵或根號計算機，得到的答案是一個近似值。
例 14 和 9 的幾何平均數是多少？
- 先相乘：4 × 9 = 36
- 再找一個自己乘自己等於 36 的數：6 × 6 = 36
- 我們來比較一下。算術平均數是 (4 + 9) ÷ 2 = 6.5，這個結果比 6 還要大。
答：6
例 2請算一算，1、3、9 這三個數的幾何平均數是多少？
- 先把這三個數全部乘起來：1 × 3 × 9 = 27。
- 接著找一個數，讓它自己乘自己三次等於 27。我們發現 3 × 3 × 3 = 27，所以答案就是 3。
答：3
例 3那 2、4、8 這三個數的幾何平均數又是多少呢？
- 同樣先把它們乘起來：2 × 4 × 8 = 64。
- 我們要找一個數，把它自己連乘三次，結果剛好是 64。算一算，4 × 4 × 4 = 64，所以這個數就是 4。
- 我們來比較一下。如果把 2、4、8 加起來再除以 3，得到的算術平均數是 (2 + 4 + 8) ÷ 3 = 14 ÷ 3，大約是 4.67。你看，4.67 比 4 還要大一點點。
答：4
例 43 和 5 的幾何平均數大約是多少呢？（請把答案四捨五入到小數第二位）
- 首先，我們把這兩個數相乘：3 × 5 = 15。
- 3 × 3 = 9、4 × 4 = 16，所以答案在 3 和 4 之間，而且很靠近 4
- 最後，我們用計算機來確認。先按 15，再按 √，螢幕上會顯示 3.872…，把它四捨五入後，大約就是 3.87。
- 我們來驗算一下：3.87 × 3.87 = 14.9769，這個答案很接近 15。
答：約 3.87
什麼時候用幾何平均數
當數量是一次一次「變成幾倍」的時候，要算平均每次變幾倍，就要用幾何平均數。這就像植物長高、存款生利息、或者人口變多一樣。下面兩題會讓你知道，如果直接把倍數加起來再除以 2，會算錯喔。
例 1一盆小苗第一個月長成原來的 2 倍高，第二個月又長成上個月的 8 倍高，平均每個月長成幾倍？
- 兩個月連著變，一共變成了 2 × 8 = 16 倍。
- 我們要找一個倍數，連續用兩次也是 16 倍：4 × 4 = 16。
- 如果用 (2 + 8) ÷ 2 = 5 倍，兩個月會變成 5 × 5 = 25 倍，這比實際的 16 倍多太多了。
答：平均每個月長成 4 倍
例 2小美存的錢，第一年變多了 25%，第二年又變多了 80%。請問平均下來，每年大概增加了百分之幾？
- 增加 25% 的意思，就是原本的錢變成了 1.25 倍。增加 80% 的意思，就是原本的錢變成了 1.8 倍。
- 把這兩年的倍數乘起來，兩年一共變成了 1.25 × 1.8 = 2.25 倍。
- 我們要找一個倍數，連續用兩次剛好等於 2.25 倍。發現 1.5 × 1.5 = 2.25，剛好符合。
- 變成 1.5 倍，就是比原來多了 50%。
- 如果用 (25% + 80%) ÷ 2 = 52.5% 來算，兩年會變成 1.525 × 1.525 = 2.325625 倍，這樣算出來的結果比實際的 2.25 倍還多。
答：平均每年增加 50%
幾何平均數和算術平均數比一比
你比較下面幾組數字會發現，當兩個數不一樣的時候，幾何平均數都比算術平均數小。而且兩個數差得越多，兩種平均數差得也越多。如果兩個數一樣，兩種平均數就相等。這就是高中一年級要學的算幾不等式。另外還有一種加權平均，是每個數的重要程度不一樣時用的平均。
| 兩個數 | 算術平均數 | 幾何平均數 |
|---|---|---|
| 5 和 5 | (5 + 5) ÷ 2 = 5 | 5 × 5 = 25，答案 5 |
| 4 和 9 | (4 + 9) ÷ 2 = 6.5 | 4 × 9 = 36，答案 6 |
| 2 和 8 | (2 + 8) ÷ 2 = 5 | 2 × 8 = 16，答案 4 |
| 1 和 9 | (1 + 9) ÷ 2 = 5 | 1 × 9 = 9，答案 3 |
2 和 8、1 和 9 的算術平均數都是 5，但 1 和 9 差得比較多，幾何平均數也比較小。
相關練習：試做 5 題
數學王沒有幾何平均數的關卡，因為它不在國小課程裡。五年級的「併式和分配律」有求平均的題目，練的是國小學的算術平均數，可以拿來和這頁比較；二年級的九九乘法則是找幾何平均數的基本功，想得出「幾乘幾等於 36」，就找得出 4 和 9 的幾何平均數。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
幾何平均數怎麼算？
兩個數就相乘，再找哪個數自己乘自己會等於這個乘積。例如 2 和 8 相乘是 16，4 × 4 = 16，幾何平均數是 4。三個數就相乘後找連乘三次的數。
幾何平均數是幾年級學的？
國小不教。國中八年級學平方根，依 108 課綱，幾何平均數和算幾不等式在高中一年級的指數單元正式學。
幾何平均數和算術平均數哪裡不一樣？
算術平均數是加起來再平分，幾何平均數是乘起來再平分成幾個一樣的數相乘。資料是一次一次變幾倍時用幾何平均數，其他大部分情形用算術平均數。兩個不同的正數，幾何平均數一定比算術平均數小。