根號

根號的所有內容

• 根號3根號 3 約等於 1.732，附近似值表、十分逼近法、正三角形的高和化簡例題
• 雙根號雙重根號化簡公式：找和與積兩個數，把根號裡的根號拆開，附例題
• 根號2根號 2 約等於 1.414，附近似值表、十分逼近法、根號計算機和化簡例題
• 根號計算機輸入一個數，算出根號的近似值、最簡根式和介於哪兩個整數之間
• 根號運算規則根號相乘、相除、加減、化簡、平方和分母有理化的規則，附例題和常見錯誤
• 直角三角形求斜邊斜邊 = 根號（直角邊平方相加），附斜邊長公式、計算步驟、例題和根號計算機
• 直角三角形比例30 60 90 度是 1 : √3 : 2，45 45 90 度是 1 : 1 : √2，附邊長換算表與例題
• 根號5根號 5 約等於 2.236，附近似值表、方格紙畫法、化簡例題和根號計算機
• 直角三角形邊長知道兩邊求第三邊：求直角邊用減的、求斜邊用加的，附邊長公式與計算例題
• 根號0根號0等於0，0的平方根只有一個，根號裡面可以是0，附例題
• 直角三角形定理畢氏定理、逆定理、斜邊中點、30 度對邊、斜邊上的高等直角三角形性質一次整理
• 根號6根號 6 約等於 2.449，6 開根號的近似值、算法和化簡例題
• 根號10根號 10 約等於 3.162，附近似值表、方格紙畫法、化簡例題和根號計算機
• 根號1等於多少根號1等於1，1的平方根是正負1，附1到20的平方和開根號對照表
• iphone根號計算機iPhone 計算機怎麼切換到科學模式開根號，一般計算機開根號怎麼按、怎麼檢查

根號是什麼：平方根的意思

如果一個數自己乘自己等於 a，這個數就叫做 a 的平方根。3 × 3 = 9，(−3) × (−3) = 9，所以 9 的平方根有兩個，3 和 −3。根號 √ 是用來寫平方根的符號，規定 √9 只代表正的那一個，也就是 √9 = 3，負的那一個寫成 −√9 = −3。所以開根號的結果不會是負數，√a 一定大於或等於 0，這也是常有人問開根號一定是正的嗎的答案：除了 √0 = 0，其他都是正的。

正數的平方根有兩個，互為相反數；0 的平方根只有 0，詳細說明在根號0；負數自己乘自己不可能是負的，所以負數在國中學的數裡沒有平方根，√(−4) 這樣的寫法在國中沒有意義。√n 裡面的 n 叫做被開方數，國中的題目被開方數都是 0 或正數。

• 4 的平方根是 ±2，√4 = 2
• 25 的平方根是 ±5，√25 = 5
• 2 的平方根是 ±√2，√2 ≈ 1.414
• 1 的平方根是 ±1，√1 = 1，說明在根號1等於多少

開根號的意思：從正方形的面積看

開根號可以想成從正方形的面積反推邊長。面積 16 的正方形，邊長乘邊長要等於 16，所以邊長是 √16 = 4。面積 2 的正方形邊長就是 √2，畫得出來，但量不出剛好的整數或分數，只能說它比 1.41 長、比 1.42 短。

所以平方和開根號是互相還原的兩個動作：4 平方是 16，16 開根號回到 4。國小學過的正方形面積公式是邊長 × 邊長，開根號就是把它倒過來算。

根號計算機：輸入一個數就開根號

輸入根號裡的數，按「計算」。預設是 12，會顯示 √12 ≈ 3.464102、化成最簡根式 √12 = √(4 × 3) = 2√3，以及 3 × 3 = 9、4 × 4 = 16，所以 √12 介於 3 和 4 之間。輸入完全平方數會直接顯示整數，例如 √49 = 7。近似值四捨五入到小數第 6 位，可以輸入 0 到 1000000000000 之間的數，小數也可以。更多用法在根號計算機。

開根號怎麼算：平方根計算方法

開根號先看被開方數是不是完全平方數。是的話，用質因數分解把它拆成兩組一樣的數，每組取一個相乘就是答案；不是的話，把裡面能開出來的平方因數拿到根號外面，化成最簡根式。分數和小數可以分子分母分開開根號。根號的化簡和運算規則，更多例子在根號運算規則。

平方根表：1 到 20 的根號

下面是 1 到 20 的根號表，近似值四捨五入到小數第三位。表裡的 1、4、9、16 是完全平方數，開根號剛好是整數；其他的數開根號都是無限不循環的小數，所以只能寫近似值或根式。最常用的 √2、√3、√5 各有專頁：根號2、根號3、根號5，√6 和 √10 在根號6和根號10。

近似值是四捨五入的結果，例如 √2 = 1.41421356…，取到小數第三位是 1.414。

根號4等於多少、根號9等於多少

√4 = 2，因為 2 × 2 = 4；√9 = 3，因為 3 × 3 = 9。4 和 9 都是完全平方數，所以開根號剛好是整數。

要注意問法的差別。問 √4 是多少，答案只有 2；問 4 的平方根是多少，答案是 2 和 −2 兩個，寫成 ±2。同樣地，√9 = 3，而 9 的平方根是 ±3。考試常用這一點出是非題，看到平方根三個字就要想到正負兩個。

• √4 = 2，4 的平方根是 ±2
• √9 = 3，9 的平方根是 ±3
• √(4 × 9) = √36 = 6，也等於 √4 × √9 = 2 × 3

8開根號：根號8等於多少

8 不是完全平方數，所以 √8 不是整數。8 = 4 × 2，裡面有平方因數 4，可以把 4 開出來，化成最簡根式 2√2。要近似值的話，√2 ≈ 1.414，所以 √8 = 2√2 ≈ 2.828。

根號7等於多少

7 沒有大於 1 的平方因數，所以 √7 已經是最簡根式，不能再化簡。因為 2 × 2 = 4、3 × 3 = 9，7 介於 4 和 9 之間，所以 √7 介於 2 和 3 之間，近似值是 2.645751…，取到小數第二位是 2.65。

開根號不用計算機：十分逼近法

不用計算機也能求根號的近似值，方法是十分逼近法，也是課本教的方法：先找出根號介於哪兩個整數之間，再一位一位試小數，每次用平方檢查有沒有超過。下面用 √7 示範，算到小數第二位。

要四捨五入到小數第二位，還要多看一位：檢查 2.645 的平方，如果小於 7，代表 √7 比 2.645 大，就進位成 2.65。

近似值是什麼

近似值是很接近、但不完全相等的數，用 ≈ 表示，讀作約等於。√2 = 1.41421356…，小數一直寫不完也不循環，所以平常寫 √2 ≈ 1.414 或 √2 ≈ 1.41，這就是近似值。取到哪一位、用四捨五入還是無條件捨去，要看題目的要求，國小學過的四捨五入在這裡會一直用到。

寫答案時要分清楚：√8 = 2√2 是相等，用等號；√8 ≈ 2.83 是近似，要用約等於。題目沒有說要近似值時，答案通常寫最簡根式。

• √2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236（四捨五入到小數第三位）
• √2 ≈ 1.41，√3 ≈ 1.73（四捨五入到小數第二位）
• 近似值相乘會有誤差：1.414 × 1.414 = 1.999396，不會剛好是 2

根號2分之一等於多少

√(1/2) 可以寫成 1/√2，再把分子分母同乘 √2，讓分母不要有根號，就變成 √2/2。這個步驟叫做分母有理化，化簡根式時通常要做。所以根號 2 分之一 = √2/2 ≈ 0.707107。

有時候題目寫的是 2 分之根號 2，也就是 √2/2，和根號 2 分之一相等，只是寫法不同。這個數在國三學 45° 的直角三角形時很常出現。

1. √(1/2) = √1 / √2 = 1/√2
2. 分子分母同乘 √2：(1 × √2) / (√2 × √2) = √2/2
3. √2/2 ≈ 1.414214 ÷ 2 ≈ 0.707107

根號是有理數嗎

要看根號裡面是什麼數。根號裡是完全平方數時，開出來是整數，當然是有理數，例如 √4 = 2、√9 = 3、√(9/16) = 3/4。根號裡的正整數不是完全平方數時，例如 √2、√3、√5、√7，開出來都是無限不循環小數，不能寫成兩個整數相除，這種數叫做無理數。

整理成一句話：正整數 n 的 √n，只有在 n 是完全平方數時才是有理數，其他都是無理數。為什麼 √2 不能寫成分數，嚴格的證明 108 課綱放在高一數學；國中先知道 √2 的小數寫不完也不循環就可以了。

• 有理數：√1 = 1、√4 = 2、√0.25 = 0.5、√(1/9) = 1/3
• 無理數：√2、√3、√5、√6、√7、√8 = 2√2
• √2 × √2 = 2，兩個無理數相乘也可能是有理數

平方根和立方根的差別

平方根是自己乘自己兩次等於 a 的數，立方根是自己乘自己三次等於 a 的數，立方根的符號寫成 ∛a。例如 2 × 2 × 2 = 8，所以 ∛8 = 2；3 × 3 × 3 = 27，所以 ∛27 = 3。

兩者有一個很大的不同：負數沒有平方根，但有立方根，因為負數乘三次還是負數，例如 (−2) × (−2) × (−2) = −8，所以 ∛(−8) = −2。另外，每個數的立方根只有一個，不像正數的平方根有正負兩個。

開三次根號怎麼算：完全立方數可以用質因數分解，把因數分成三組一樣的，每組取一個相乘。例如 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)，所以 ∛216 = 6。不是完全立方數就用計算機。108 課綱的國中課程只有平方根，課綱裡寫作二次方根；立方根不是國中的單元，到高一學指數時，會看到 8 的三分之一次方就是 ∛8 = 2。

• ∛1 = 1，∛8 = 2，∛27 = 3，∛64 = 4，∛125 = 5
• ∛1000 = 10，∛(−27) = −3

等腰直角三角形邊長比 1 : 1 : √2

等腰直角三角形的兩股一樣長，設兩股都是 1，用畢氏定理算斜邊：1² + 1² = 2，斜邊 = √2，所以三邊長的比是 1 : 1 : √2，三個角是 45°、45°、90°。大家常說的 1 1 根號 2，指的就是這個比，國小認識的等腰直角三角形就是這種三角形。

另一個常背的是 30°、60°、90° 的直角三角形，三邊比是 1 : √3 : 2，常有人記成 1 2 根號 3：最短邊 1 對著 30°，斜邊 2 是最短邊的兩倍，剩下的一股是 √3，因為 2² − 1² = 3。畢氏定理是國二學的，這兩組特殊邊長比在國三學直角三角形邊長比值時整理，更多內容在直角三角形比例和直角三角形邊長。

等腰直角三角形邊長比的例題

已知一股求斜邊，就乘以 √2；已知斜邊求股，就除以 √2，再做分母有理化。直角三角形已知兩股求斜邊的一般算法在直角三角形求斜邊。

直角三角形斜邊上的高怎麼算

從直角的頂點往斜邊畫垂直線，這條線就是斜邊上的高。直角三角形的面積可以用兩種方法算：兩股相乘 ÷ 2，或斜邊 × 斜邊上的高 ÷ 2，兩個結果一定相等，所以斜邊上的高 = 兩股相乘 ÷ 斜邊。

例如兩股 3 和 4，斜邊是 √(3² + 4²) = √25 = 5，斜邊上的高 = 3 × 4 ÷ 5 = 2.4。兩股是 6 和 8 時，斜邊是 10，高是 6 × 8 ÷ 10 = 4.8。斜邊如果開不盡，高就會帶根號，例如兩股 1 和 2，斜邊 √5，高 = 2/√5 = 2√5/5。直角三角形的其他性質整理在直角三角形定理。

根號x和根號圖形

√x 是把 x 開根號，x 要大於或等於 0 才有意義，所以題目常問 √(x − 3) 要有意義，x 要多少：x − 3 ≥ 0，也就是 x ≥ 3。

把 y = √x 畫在坐標平面上，x = 0、1、4、9 時，y 分別是 0、1、2、3。圖形從原點出發往右上方走，但越往右越平，因為 x 要變成 4 倍，y 才變成 2 倍。國中學的函數圖形是直線和拋物線，y = √x 這種圖形不在國中範圍，這裡當作延伸，幫助理解根號變大的速度。

根號i是什麼

i 是高中才會學的虛數單位，規定 i × i = −1，也就是 i 是 −1 的平方根。國中學的數都在數線上，負數沒有平方根，所以國中不會出現 i，也不會出現 √i。

如果真的要算 √i，答案是 √2/2 + (√2/2)i 和它的相反數，因為 (√2/2 + (√2/2)i)² = 1/2 + i + (1/2)i² = 1/2 + i − 1/2 = i。複數在 108 課綱排在高三的選修數學，國中生知道有這回事就好，不需要會算。

先把國小的基礎練熟

數學王的練習是國小一到六年級，沒有國中的根號題目。開根號會用到兩個國小的基礎：化簡根式和判斷完全平方數要靠質因數分解，就是六年級的「質因數和最簡分數」；十分逼近法要一直算 2.64 × 2.64 這種小數乘法，就是五年級的「小數的乘法」。不用登入，做完會告訴你答對幾題。

根號的相關主題

根號是國中數學國二的重點，後面的畢氏定理、一元二次方程式公式解都會一直用到。學完這頁，可以依需要看這些主題。

• 根號運算規則：根號的乘除、加減、化簡和分母有理化。
• 根號計算機：輸入一個數，算近似值、最簡根式和介於哪兩個整數之間。
• iphone根號計算機：手機和一般計算機開根號怎麼按。
• 根號2、根號3、根號5、根號6、根號10：常見根號的近似值和用法。
• 根號0、根號1等於多少：0 和 1 開根號的特殊情形。
• 雙根號：根號裡還有根號時怎麼化簡。
• 直角三角形求斜邊、直角三角形邊長：用畢氏定理算邊長，答案常帶根號。
• 直角三角形比例、直角三角形定理：特殊直角三角形的邊長比和性質。

常見問題

延伸學習