數學王最大公因數的所有內容
最大公因數是什麼
一個數如果能被另一個數整除，後面那個數就是它的因數。12 ÷ 3 = 4 沒有餘數，所以 3 是 12 的因數。好幾個數共同的因數叫公因數，公因數裡最大的那一個，就叫最大公因數。
每一組數一定都有公因數 1。如果兩個數的最大公因數是 1，例如 8 和 15，就說這兩個數互質。
最大公因數最常用在約分：分子和分母同除以最大公因數，一次就能約成最簡分數。例如 18/24，18 和 24 的最大公因數是 6，同除以 6 得到 3/4。約分和通分的完整說明在通分約分。
最大公因數怎麼算：三種方法
三種方法算出來的答案一定一樣，差別在數字大小。數字小用第一種最直觀，數字大就用第二或第三種。
例 1方法一：列出因數。求 12 和 18 的最大公因數。
- 12 的因數：1、2、3、4、6、12
- 18 的因數：1、2、3、6、9、18
- 公因數：1、2、3、6
- 最大的公因數是 6
答：6
例 2方法二：質因數分解。求 24 和 36 的最大公因數。
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 兩邊都有的質因數是 2、2、3
- 最大公因數 = 2 × 2 × 3 = 12
答：12
例 3方法三：短除法。求 48 和 60 的最大公因數。
- 48 和 60 都能被 2 整除，除完得到 24 和 30
- 24 和 30 都能被 2 整除，除完得到 12 和 15
- 12 和 15 都能被 3 整除，除完得到 4 和 5
- 4 和 5 除了 1 以外沒有公因數，停止
- 把左邊的除數乘起來：2 × 2 × 3 = 12
答：12
短除法求最大公因數
短除法是把質因數分解寫成一個直式，一次處理兩個數。每一層都找一個兩個數都能整除的質數寫在左邊，把商寫在下面，一直除到下面兩個數除了 1 以外沒有公因數為止。
左邊直排的數乘起來就是最大公因數。如果再乘上最下面一排的數，就是最小公倍數：2 × 2 × 3 × 4 × 5 = 240。
最大公因數和最小公倍數的差別
最大公因數和最小公倍數常常一起考，名字也很像，孩子最容易搞混。記法是：因數是往下拆，所以最大公因數不會超過原來的數；倍數是往上乘，所以最小公倍數不會小於原來的數。
| 最大公因數 | 最小公倍數 | |
|---|---|---|
| 意思 | 共同的因數裡最大的 | 共同的倍數裡最小的 |
| 大小 | 不大於原來最小的數 | 不小於原來最大的數 |
| 12 和 18 | 6 | 36 |
| 短除法怎麼取 | 只乘左邊的除數 | 左邊的除數再乘最下面一排 |
| 生活裡用在 | 平分、剪成一樣長、約分 | 同時發生、排成正方形、通分 |
兩個數時有一個關係可以驗算：12 × 18 = 216，6 × 36 = 216，兩個數的乘積等於最大公因數乘最小公倍數。三個數以上不一定成立。
常見的最大公因數對照表
這些是課本和考卷常出現的組合，可以拿來對答案，也可以遮住右邊兩欄當練習。
| 兩個數 | 最大公因數 | 最小公倍數 |
|---|---|---|
| 8 和 12 | 4 | 24 |
| 12 和 18 | 6 | 36 |
| 15 和 25 | 5 | 75 |
| 16 和 24 | 8 | 48 |
| 24 和 36 | 12 | 72 |
| 30 和 45 | 15 | 90 |
| 48 和 60 | 12 | 240 |
| 8 和 15 | 1 | 120 |
8 和 15 的最大公因數是 1，兩個數互質，最小公倍數就是兩數相乘。
最大公因數應用題
看到「平分、剪成一樣長、最多能分給幾人、最大的正方形」通常是最大公因數；看到「同時、再一次一起、最少要幾個」通常是最小公倍數。
例 1一張長 36 公分、寬 24 公分的紙，要剪成大小一樣的正方形，而且不能有剩下。正方形的邊長最大是幾公分？可以剪成幾個？
- 邊長要同時是 36 和 24 的因數，又要最大，所以求最大公因數
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3，24 = 2 × 2 × 2 × 3，最大公因數 = 2 × 2 × 3 = 12
- 長可以剪 36 ÷ 12 = 3 個，寬可以剪 24 ÷ 12 = 2 個
- 一共 3 × 2 = 6 個
答：邊長 12 公分，可以剪成 6 個
例 2延伸題：有 12 顆蘋果、18 顆橘子和 30 顆糖果，要平分給小朋友，每種都要剛好分完。最多可以分給幾個人？國小課本只要求兩個數，三個數的做法一樣，學有餘力再挑戰。
- 人數要同時整除 12、18、30，求三個數的最大公因數
- 短除法：12、18、30 同除以 2，得到 6、9、15
- 6、9、15 同除以 3，得到 2、3、5，沒有公因數了
- 最大公因數 = 2 × 3 = 6
答：最多 6 個人
例 3A 路公車每 6 分鐘一班，B 路公車每 8 分鐘一班，早上 7 點同時發車，下一次同時發車是幾點幾分？
- 要找 6 和 8 共同的倍數裡最小的，這題是最小公倍數
- 6 和 8 的最大公因數是 2，最小公倍數 = 2 × 3 × 4 = 24
- 7 點過 24 分鐘
答：7 點 24 分
最大公因數練習：馬上試做 5 題
「公因數和公倍數」會出因數的個數、最大公因數和最小公倍數；「質因數和最簡分數」會出質因數分解、最大公因數、最小公倍數和約分。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
因數和倍數的相關主題
因數與倍數是國小數學五、六年級的重點，也是之後學分數約分、通分的基礎。想再深入可以看下面這些主題。
用遊戲練因數和倍數
因數和倍數需要對數字很熟，光寫練習題容易膩。數學王有兩個相關的小遊戲：「餅乾分裝」練因數，要把餅乾平均裝進盒子；「餅乾火車」練倍數。題目由簡單到難，一開始比較容易，讓孩子先有信心。
在家也可以玩：家長說一個數，例如 24，孩子輪流說出它的因數，說不出來或說錯的人輸。熟了以後改成說兩個數，搶答它們的最大公因數。
常見問題
最大公因數怎麼算最快？
數字小的時候直接列出因數；數字比較大就用短除法，把左邊的除數乘起來就是最大公因數。三個數也能用短除法，但國小課本只要求兩個數。
最大公因數和最小公倍數差在哪裡？
最大公因數是共同因數裡最大的，不會超過原來的數；最小公倍數是共同倍數裡最小的，不會小於原來的數。例如 12 和 18，最大公因數是 6，最小公倍數是 36。
最大公因數是幾年級學的？
108 課綱在五年級學公因數和公倍數，六年級學質因數分解和用短除法求最大公因數、最小公倍數。五年級以認識意思為主，不用短除法；六年級的質因數分解只用到 20 以內的質數，更大的質數在國中才學。
兩個數的最大公因數是 1 代表什麼？
代表兩個數互質，除了 1 以外沒有共同的因數，例如 8 和 15。這時它們的最小公倍數就是兩數相乘，8 × 15 = 120。