數學王長方體的面、邊和頂點
你拿一個面紙盒或餅乾盒來看。盒子平平的那一片叫做面。兩個面接在一起的那條線叫做邊。三條邊交會在一起的那個尖尖角叫做頂點。長方體一共有 6 個面、12 條邊、8 個頂點。
長方體的每個面都是長方形。有時候，相對的兩個面會是正方形，就像那種底面是正方形的高高盒子。相對的面大小一定一樣。上和下、前和後、左和右，剛好是 3 對。每個面和它相對的面像鐵軌一樣平行，一直往前也不會碰在一起。它和旁邊的 4 個面垂直，也就是像書本的角那樣形成直角。
正方體和長方體比一比
正方體和長方體的面、邊、頂點數量完全一樣。差別在於邊的長短和面的形狀。因為正方體的長、寬、高都一樣長，它符合長方體的所有條件。所以可以說，正方體是特別的長方體。就像正方形是特別的長方形一樣。
| 比較項目 | 正方體 | 長方體 |
|---|---|---|
| 面 | 6 個，都是一樣大的正方形 | 6 個，都是長方形，相對的兩個面一樣大 |
| 邊 | 12 條，全部一樣長 | 12 條，分成 3 組，每組 4 條一樣長 |
| 頂點 | 8 個 | 8 個 |
| 每個頂點交會的邊 | 3 條 | 3 條 |
| 和一個面平行的面 | 1 個 | 1 個 |
| 和一個面垂直的面 | 4 個 | 4 個 |
| 邊長總和 | 邊長 × 12 | (長 + 寬 + 高) × 4 |
| 體積 | 邊長 × 邊長 × 邊長 | 長 × 寬 × 高 |
| 表面積 | 邊長 × 邊長 × 6 | (長 × 寬 + 長 × 高 + 寬 × 高) × 2 |
正方體有幾個邊
正方體有 12 條邊。數的時候，不要在立體圖上亂數。分成三批數就不會漏掉：上面一圈 4 條，下面一圈 4 條，連接上下的直立邊 4 條，一共 4 + 4 + 4 = 12 條。頂點也可以這樣數，上面 4 個、下面 4 個，一共 8 個。
很多人會數錯，因為只看得到前面的邊。畫在紙上的正方體，我們看得到的邊有 9 條，還有 3 條躲在後面，通常畫成斷斷續續的虛線。你可以拿一顆骰子或方糖在手上轉一轉，這樣數起來最清楚。
- 正方體有 6 個面、12 條邊、8 個頂點。
- 6 個面都是一樣大的正方形，所以 12 條邊都一樣長。
- 骰子、方糖、魔術方塊都是正方體的形狀。
正方體和長方體例題
如果是做框架或綁緞帶的題目，我們要算的是所有邊的總長度。在計算之前，先想清楚每一種長度各有幾條。
例 1用鐵絲做一個長 8 公分、寬 5 公分、高 3 公分的長方體框架，至少要多少公分的鐵絲？
- 長方體的長、寬、高，每一種都有 4 條。
- (8 + 5 + 3) × 4 = 16 × 4 = 64
答：64 公分
例 2有一個正方體，它的邊長是 6 公分。正方體一共有 12 條邊，請問把 12 條邊加起來，總共有多少公分？
- 正方體的 12 條邊全都一樣長。
- 6 × 12 = 72
答：72 公分
例 3有一個正方體，把它所有的邊加起來是 48 公分。請問它的一條邊是多少公分？
- 正方體的 12 條邊長度都一樣。
- 48 ÷ 12 = 4
答：4 公分
例 4在長方體中，和底面垂直的面有幾個？和底面平行的面有幾個？
- 和底面挨著的前面、後面、左面、右面這 4 個面，都和底面垂直。
- 只有正對面的上面，和底面平行。
答：垂直的面 4 個，平行的面 1 個
長方體的面和面：平行和垂直
長方體有 6 個面。面對面、不會碰到的兩個面互相平行，例如盒子的上面和下面，一共有 3 組。靠在一起、有一條邊相連的兩個面互相垂直，就像牆壁和地板。拿一個三角板的直角去對兩個面的夾角，剛好密合就是垂直。
例 1長方體裡，和一個面平行的面有幾個？
- 只有正對面那一個面，不會跟它碰在一起。
答：1 個
例 2長方體裡，和一個面垂直的面有幾個？
- 長方體總共有 6 個面，我們先去掉它自己，再去掉正對面那一個。
- 6 − 1 − 1 = 4
答：4 個
正方體展開圖
把正方體沿著幾條邊剪開，然後攤平，得到的平面圖形叫做展開圖。正方體的展開圖是由 6 個一樣大的正方形連在一起組成的。如果旋轉或翻面後看起來一樣的，就算同一種。總共有 11 種不同的展開圖。
這 11 種形狀可以分成四組。第一組叫「一四一型」，中間排著 4 個正方形，上面和下面各接 1 個，總共有 6 種。第二組叫「一三二型」，一排有 3 個，上面接 1 個，下面接 2 個，總共有 3 種。第三組叫「二二二型」，像樓梯一樣，每排都有 2 個，只有 1 種。第四組叫「三三型」，兩排各 3 個，但是錯開排的，也只有 1 種。
怎麼判斷是不是正方體展開圖
三年級的小朋友，可以先動手把展開圖剪下來，黏一黏看看。只要知道不同的展開圖，可能會黏成同一個正方體，就很棒了。到了高年級，如果遇到要判斷對錯的題目，可以用下面幾個方法來檢查，不用真的去剪。
- 先數一數，有沒有剛好 6 個正方形。少一個或多一個都不行。
- 看看有沒有「田」字形，就是 2 × 2 擠在一起的 4 個正方形。如果有田字形，一定摺不起來。因為正方體的頂點，只有 3 個面交會在一起，但田字形中間那一點，卻圍了 4 個面。
- 看看一直排或一橫排，有沒有超過 4 個。正方體繞一圈只有 4 個面，如果連成 5 個，就會重疊了。
- 我們要找出 3 對相對的面。什麼叫相對的面呢？就是摺起來後，一個面在正面，另一個面就在背面的那兩片。怎麼找呢？看同一排上，隔了一格的兩個面，摺起來它們就是對面的。如果兩個面是挨在一起的，它們就不會是對面。如果你找得到 3 對，而且每一對都不重複，那這張圖就是正方體的展開圖。
長方體展開圖
長方體的展開圖也是由 6 個面連在一起。不過，這些面不一定一樣大。所以，除了形狀要能摺起來，每一個面的邊長，還要和它旁邊接住的那個面對得上。舉個例子，下面這張圖是一個長 5 公分、寬 4 公分、高 3 公分的長方體展開圖。它的上下兩個面是 5 × 4，前後兩個面是 5 × 3，左右兩個面是 4 × 3。
畫長方體展開圖時，我們先畫中間繞一圈的 4 個面，分別是前、右、後、左。這 4 個面的高都一樣高。然後，再把上面和下面這兩個面，接在其中一個面的上下兩邊。注意哦，接上去的那條邊，長度一定要一樣。例如，上面接在前面的上緣，那麼上面的長，就要等於前面的長。
長方體展開圖例題
把展開圖的所有面加起來，總面積就是長方體的表面積。怎麼算呢？你可以去看長方體表面積公式。
從前面、上面、左邊看長方體或積木堆，這在國一的時候會學到，叫做三視圖。
例 1長 5 公分、寬 4 公分、高 3 公分的長方體，展開圖裡有哪幾種大小的長方形？各有幾個？
- 先看上面和下面這兩個面。它們的大小是用長度乘以寬度算出來的，也就是 5 × 4 = 20 平方公分。因為上面有一個，下面也有一個，所以總共有 2 個。
- 再看前面和後面這兩個面。它們的大小是用長度乘以高度算出來的，也就是 5 × 3 = 15 平方公分。前面有一個，後面也有一個，所以總共有 2 個。
- 最後看左邊和右邊這兩個面。它們的大小是用寬度乘以高度算出來的，也就是 4 × 3 = 12 平方公分。左邊有一個，右邊也有一個，所以總共有 2 個。
答：20 平方公分、15 平方公分、12 平方公分的長方形各 2 個
例 2承上題，這張展開圖的總面積是多少？
- 我們把三種長方形的面積加起來：20 + 15 + 12 = 47
- 每種有 2 個：47 × 2 = 94
答：94 平方公分
例 3一張長方體展開圖中，前面是 6 公分 × 2 公分的長方形，上面接在前面 6 公分那條邊上，寬是 3 公分。這個長方體的長、寬、高是多少？
- 上面接在前面 6 公分的邊上，所以長是 6 公分
- 上面的另一邊是寬，3 公分
- 前面的另一邊是高，2 公分
答：長 6 公分、寬 3 公分、高 2 公分
正方體和長方體練習：試做 5 題
五年級的「柱體和錐體」關卡會問正方體、四角柱這些立體有幾個面、幾條邊、幾個頂點，以及和一個面平行或垂直的面有幾個，長方體就是四角柱的一種。「大面積、公噸、體積」關卡則會出長方體體積和正方體表面積，適合學完這頁再挑戰。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
正方體有幾個邊？
正方體有 12 條邊，上面一圈 4 條、下面一圈 4 條、直立的 4 條。它也有 6 個面和 8 個頂點，12 條邊全部一樣長。
正方體算是長方體嗎？
算。長方體的條件是 6 個面都是長方形、相對的面一樣大，正方形本來就是特別的長方形，所以正方體是長、寬、高都相等的長方體。
正方體展開圖有幾種？
11 種。一四一型 6 種、一三二型 3 種、二二二型 1 種、三三型 1 種。有田字形或一排超過 4 個的圖形都摺不成正方體。
長方體和正方體幾年級學？
二年級從生活中的盒子認識形狀，三年級用展開圖動手黏成立體，五年級學面與面的平行和垂直，並計算正方體和長方體的體積與表面積。