數學王一元二次方程式的所有內容
一元二次方程式是什麼
一元是一個未知數，二次是未知數的最高次方是 2。不論題目原本長什麼樣子，先把所有項移到等號左邊、右邊剩 0，整理成 ax² + bx + c = 0，這叫標準式。a 是 x² 的係數，b 是 x 的係數，c 是常數項，b 和 c 可以是 0，a 不能是 0，否則就變成一次方程式了。
讓等式成立的 x 叫做方程式的根，也叫做解。一元二次方程式最多有兩個根，例如 x² − 5x + 6 = 0 的根是 2 和 3，代回去 2² − 5 × 2 + 6 = 0、3² − 5 × 3 + 6 = 0 都成立。
- x² − 5x + 6 = 0：a = 1，b = −5，c = 6。
- 2x² = 8x：移項成 2x² − 8x = 0，a = 2，b = −8，c = 0。
- x² = 9：移項成 x² − 9 = 0，a = 1，b = 0，c = −9。
- x(x + 3) = 40：展開移項成 x² + 3x − 40 = 0。
解一元二次方程式的三種方法
因式分解法用的是一個很簡單的道理：兩個數相乘等於 0，至少有一個是 0。所以 (x − 2)(x − 3) = 0，不是 x − 2 = 0 就是 x − 3 = 0。配方法是用乘法公式把式子湊成完全平方，再開平方；把配方法用在 ax² + bx + c = 0 上，就得到公式解。開平方會用到根號。
解一元二次方程式題目
下面五題用不同的方法解，每題最後都代回原式檢查。拿到題目先看能不能提公因式或用十字交乘分解，分解不出來再用配方法或公式解。
例 1解 x² − 5x + 6 = 0
- 找兩個數相乘是 6、相加是 −5，是 −2 和 −3：(x − 2)(x − 3) = 0
- x − 2 = 0 或 x − 3 = 0
- x = 2 或 x = 3
- 檢查：4 − 10 + 6 = 0，9 − 15 + 6 = 0
答：x = 2 或 x = 3
例 2解 2x² − 8x = 0
- 提公因式 2x：2x(x − 4) = 0
- 2x = 0 或 x − 4 = 0
- x = 0 或 x = 4
- 檢查：x = 0 時 0 − 0 = 0；x = 4 時 32 − 32 = 0
- 注意：不能兩邊同除以 x，那樣會漏掉 x = 0 這個根
答：x = 0 或 x = 4
例 3解 (x − 1)² = 9
- 開平方：x − 1 = 3 或 x − 1 = −3
- x = 4 或 x = −2
- 檢查：(4 − 1)² = 9，(−2 − 1)² = (−3)² = 9
答：x = 4 或 x = −2
例 4用配方法解 x² + 6x − 7 = 0
- 常數移到右邊：x² + 6x = 7
- 6 的一半是 3，兩邊加 3² = 9：x² + 6x + 9 = 16
- (x + 3)² = 16，x + 3 = 4 或 x + 3 = −4
- x = 1 或 x = −7
- 檢查：1 + 6 − 7 = 0，49 − 42 − 7 = 0
答：x = 1 或 x = −7
例 5用公式解 2x² − 3x − 1 = 0
- a = 2，b = −3，c = −1
- 判別式 b² − 4ac = 9 − 4 × 2 × (−1) = 9 + 8 = 17
- x = (3 ± √17) ÷ 4
- √17 約 4.123，所以 x 約 1.781 或約 −0.281
- 檢查：把 (3 + √17)/4 代入，2 × (26 + 6√17)/16 − 3(3 + √17)/4 − 1 = (26 + 6√17 − 18 − 6√17 − 8)/8 = 0
答：x = (3 + √17)/4 或 x = (3 − √17)/4
一元二次方程式計算機
把方程式整理成 ax² + bx + c = 0，輸入 a、b、c，按「計算」，會顯示判別式的算式、兩個根，以及代入公式解的算式。預設是 1、−5、6，也就是 x² − 5x + 6 = 0，結果是判別式 1、x = 3 或 x = 2。根不是整數時會顯示小數近似值，a、b、c 都是整數時還會寫出根式。更多用法在一元二次方程式計算機。
一元二次方程式應用題
應用題列出一元二次方程式後，通常會解出兩個根，要回到題目檢查哪個合理。長度、人數不能是負數，不合理的根要寫「不合」捨去。
例 1一個長方形的長比寬多 3 公分，面積是 40 平方公分，寬是幾公分？
- 設寬 x 公分，長 x + 3 公分：x(x + 3) = 40
- x² + 3x − 40 = 0，(x + 8)(x − 5) = 0
- x = −8 或 x = 5，寬不能是負數，x = −8 不合
- 檢查：寬 5 公分、長 8 公分，5 × 8 = 40
答：寬 5 公分
例 2兩個連續正整數的乘積是 132，這兩個數是多少？
- 設較小的數是 x，較大的是 x + 1：x(x + 1) = 132
- x² + x − 132 = 0，(x + 12)(x − 11) = 0
- x = −12 或 x = 11，題目說正整數，x = −12 不合
- 檢查：11 × 12 = 132
答：11 和 12
判別式：先知道有幾個根
公式解裡根號下的 b² − 4ac 叫做判別式。根號裡不能是負數，所以不用真的解，只要算判別式，就知道方程式有兩個不同的根、兩個相同的根，還是沒有實數解。兩個相同的根叫做重根。
| 方程式 | 判別式 b² − 4ac | 根的情形 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 25 − 24 = 1，大於 0 | 兩個不同的根：2 和 3 |
| x² − 6x + 9 = 0 | 36 − 36 = 0 | 重根：3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | 4 − 20 = −16，小於 0 | 沒有實數解 |
判別式小於 0 時，方程式在實數裡沒有解；高中學了複數，才會說它有兩個虛根。
一元二次方程式兩根和係數的關係
如果知道兩個根是 α 和 β，方程式可以寫成 (x − α)(x − β) = 0，展開就是 x² − (α + β)x + αβ = 0。例如兩根是 2 和 −5，方程式就是 (x − 2)(x + 5) = 0，也就是 x² + 3x − 10 = 0。
反過來，ax² + bx + c = 0 的兩根相加是 −b/a，相乘是 c/a，這叫根與係數的關係。108 課綱國中的學習內容沒有列出這個關係，這裡當作延伸，可以用來快速檢查答案：x² − 5x + 6 = 0 的兩根 2 和 3，相加 5 = −(−5)/1，相乘 6 = 6/1。
一元二次方程式圖形：拋物線和 x 軸的交點
一元二次方程式本身是一個等式，談圖形時指的是二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形，它是一條拋物線。方程式 ax² + bx + c = 0 的根，就是拋物線和 x 軸交點的 x 坐標，因為在 x 軸上 y = 0。
圖中 y = x² − 2x − 3 和 x 軸交在 x = −1 和 x = 3，所以 x² − 2x − 3 = 0 的根是 −1 和 3，分解成 (x + 1)(x − 3) = 0 也得到一樣的答案。判別式大於 0，拋物線和 x 軸有兩個交點；等於 0，拋物線剛好碰到 x 軸一點；小於 0，拋物線和 x 軸沒有交點。
二次函數的圖形是國三的內容，頂點、開口方向和怎麼畫圖，在二次函數和二次函數圖形有完整說明。
學完一元二次方程式，接下來看什麼
一元二次方程式的公式和計算機各有一頁，可以依需要直接跳過去。學習順序上，乘法公式和因式分解是解題的基礎，學完以後會接到國三的二次函數。
- 一元二次方程式公式解：公式怎麼讀、怎麼用、怎麼推導，以及最常算錯的地方。
- 一元二次方程式計算機：輸入 a、b、c，馬上看到判別式、兩根和根式。
- 因式分解：提公因式、乘法公式和十字交乘，最快的解法。
- 國二數學：國二一整年的單元整理。
常見問題
一元二次方程式怎麼解？
先移項成 ax² + bx + c = 0。能因式分解就分解，例如 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0，x = 2 或 3；分解不出來就用配方法或公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。
怎麼知道一元二次方程式有幾個根？
算判別式 b² − 4ac。大於 0 有兩個不同的根，等於 0 是重根，小於 0 沒有實數解。
一元二次方程式是幾年級學的？
108 課綱排在國中八年級，也就是國二，內容包括一元二次方程式的意義，以及用因式分解、配方法、公式解來解和應用問題。
一元二次方程式的圖形是什麼？
對應的二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形是拋物線，方程式的根就是拋物線和 x 軸交點的 x 坐標。二次函數的圖形在國三學。