數學王正比反比的意思
買同一種 15 元的筆，買 1 支 15 元、2 支 30 元、3 支 45 元，總價 ÷ 支數永遠是 15，總價和支數成正比，寫成 y = 15x。支數變成 2 倍，總價也變成 2 倍；支數是 0，總價也是 0。
開車走 120 公里，時速 20 公里要 6 小時，時速 40 公里要 3 小時，時速 60 公里要 2 小時，速度 × 時間永遠是 120，速度和時間成反比，寫成 xy = 120。速度變成 2 倍，時間就變成一半。正比是兩個量的比值固定，反比是兩個量的乘積固定，這是判斷時最可靠的方法。
正比反比公式和符號
公式裡的 k 叫做比例常數，正比時 k 是比值，反比時 k 是乘積。數學上通常直接寫成 y = kx 和 xy = k；比例符號 ∝ 在自然科比較常見，y ∝ x 讀作 y 和 x 成正比。
正比的例子：總價和支數
每支筆 15 元，總價 y 和支數 x 的對應值如下，最右欄的比值都是 15，所以成正比。
| 支數 x | 總價 y 元 | y ÷ x |
|---|---|---|
| 1 | 15 | 15 |
| 2 | 30 | 15 |
| 3 | 45 | 15 |
| 4 | 60 | 15 |
| 6 | 90 | 15 |
反比的例子：速度和時間
距離固定是 120 公里，時速 x 公里和所需時間 y 小時的對應值如下，最右欄的乘積都是 120，所以成反比。
| 時速 x 公里 | 時間 y 小時 | x × y |
|---|---|---|
| 20 | 6 | 120 |
| 30 | 4 | 120 |
| 40 | 3 | 120 |
| 60 | 2 | 120 |
| 80 | 1.5 | 120 |
正比反比的圖形
把對應值畫在坐標平面上，正比 y = 2x 的點會排成一條通過原點的直線，國二學一次函數時會再看到這種圖形。反比 xy = 6 的點則連成一條往右下彎的曲線，x 越大 y 越小，但永遠不會碰到兩條坐標軸，圖中只畫出 x 是正數的部分。
怎麼判斷正比還是反比
不要只看一個變大另一個也變大就說是正比，要真的算出比值或乘積。
- 正方形的周長和邊長：周長 = 4 × 邊長，成正比。
- 面積 24 平方公分的長方形，長和寬：長 × 寬 = 24，成反比。
- 60 公升的水，每分鐘流出量和流完的時間：乘積是 60，成反比。
- 正方形的面積和邊長：邊長 1、2、3 時面積 1、4、9，比值不固定，不成正比。
- 買 15 元的筆再加 20 元運費：總價 y = 15x + 20，1 支 35 元、2 支 50 元，比值不固定，不成正比。
- 列出兩個量的幾組對應值。
- 算 y ÷ x，如果每一組都一樣，就是正比。
- 算 x × y，如果每一組都一樣，就是反比。
- 兩個都不固定，就既不是正比也不是反比。
正比反比題目
正比反比題目的解法都一樣：先判斷是正比還是反比，用已知的一組數求出 k，再代入求答案。也可以直接列比例式來算。
例 1y 和 x 成正比，x = 4 時 y = 10，求 x = 6 時的 y。
- k = y ÷ x = 10 ÷ 4 = 2.5
- y = 2.5 × 6 = 15
答：15
例 2y 和 x 成反比，x = 3 時 y = 8，求 x = 4 時的 y。
- k = x × y = 3 × 8 = 24
- y = 24 ÷ 4 = 6
答：6
例 33 支筆 45 元，同樣的筆 8 支多少元？
- 總價和支數成正比，列比例式 3 : 45 = 8 : y
- 外項乘積等於內項乘積：3 × y = 45 × 8 = 360
- y = 120
答：120 元
例 4一件工作 6 個人做 10 天完成，如果每個人的速度一樣，改成 15 個人要幾天？
- 人數和天數成反比，乘積是 6 × 10 = 60
- 60 ÷ 15 = 4
答：4 天
例 5汽車時速 60 公里開 2.5 小時到達，如果想 2 小時到，時速要多少？
- 距離固定，速度和時間成反比
- 距離 = 60 × 2.5 = 150 公里
- 150 ÷ 2 = 75
答：時速 75 公里
例 6解比例式 (x + 1) : 4 = 3 : 2。
- 外項乘積等於內項乘積：2(x + 1) = 4 × 3 = 12
- x + 1 = 6
- x = 5
答：x = 5
國小基礎：比與比值、速度
正比反比用到的相等的比和速度公式，是國小六年級的內容。數學王的練習關卡是國小一到六年級，「比與比值」會出 1 : 3 = 4 : ? 這種相等的比和最簡整數比，「速度」會出時速、分速換算和距離計算，可以先確認基礎再做國中的題目。
準備好就開始，一共 5 題。
連比是什麼、怎麼算
連比是三個或更多量的比，例如甲、乙、丙三人的錢是 2 : 3 : 5，寫成 a : b : c = 2 : 3 : 5。連比和兩個數的比一樣，每一項同乘或同除以一個不為 0 的數，連比不變，所以 12 : 18 : 30 每一項都除以最大公因數 6，化簡成 2 : 3 : 5。
連比最常考的是把兩個比合成一個連比。已知 a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，兩個比裡的 b 分別是 3 和 4，要先把 b 換成同一個數，取 3 和 4 的最小公倍數 12：a : b = 8 : 12，b : c = 12 : 15，合起來就是 a : b : c = 8 : 12 : 15。連比是國三的內容。
- 有小數的，每一項乘以 10、100，化成整數。
- 有分數的，每一項乘以分母的最小公倍數，化成整數。
- 每一項除以它們的最大公因數，化成最簡整數比。
- 合成連比時，先把共同的那一項換成兩個數的最小公倍數。
連比公式
連比例式 a : b : c = x : y : z 表示三個量按照同一個倍數放大或縮小，解題時最常用的方法是設比例常數 k。
連比例題目
下面的連比例題目從化簡、合成到應用，每一題都可以把答案代回題目驗算。
例 1把 24 : 36 : 60 化成最簡整數比。
- 24、36、60 的最大公因數是 12
- 每一項除以 12：2 : 3 : 5
答：2 : 3 : 5
例 2把 0.4 : 1.2 : 2 化成最簡整數比。
- 每一項乘以 10：4 : 12 : 20
- 每一項除以 4：1 : 3 : 5
答：1 : 3 : 5
例 3把 1/2 : 2/3 : 3/4 化成最簡整數比。
- 分母 2、3、4 的最小公倍數是 12
- 每一項乘以 12：6 : 8 : 9
答：6 : 8 : 9
例 4a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，求 a : b : c。
- b 分別是 3 和 4，最小公倍數是 12
- a : b = 8 : 12，b : c = 12 : 15
答：8 : 12 : 15
例 5x : y : z = 2 : 3 : 5，而且 x + y + z = 50，求 x、y、z。
- 設 x = 2k，y = 3k，z = 5k
- 2k + 3k + 5k = 10k = 50，k = 5
- x = 10，y = 15，z = 25
答：x = 10，y = 15，z = 25
例 6三角形三個內角的比是 2 : 3 : 4，三個角各是幾度？
- 三角形內角和是 180 度，2 + 3 + 4 = 9
- 180 × 2 ÷ 9 = 40，180 × 3 ÷ 9 = 60，180 × 4 ÷ 9 = 80
答：40 度、60 度、80 度
例 7a : b : c = 2 : 3 : 4，而且 2a + b − c = 15，求 c。
- 設 a = 2k，b = 3k，c = 4k
- 2 × 2k + 3k − 4k = 3k = 15，k = 5
- c = 4 × 5 = 20
答：c = 20
連比例計算機：用最大公因數和最小公倍數幫忙
數學王目前沒有專門的連比例計算機，但化簡連比要用到最大公因數，合成連比要用到最小公倍數，這兩個都可以用下面的計算機算，最多輸入 3 個數。例如輸入 24、36、60，最大公因數是 12，每一項除以 12 就得到 2 : 3 : 5；合成 a : b = 2 : 3 和 b : c = 4 : 5 時，輸入 3 和 4，最小公倍數是 12。詳細用法在最大公因數計算機。
正比反比的相關主題
比例是國小到國中一路延伸的主題，學完這頁可以接著看這些內容。
常見問題
正比反比怎麼分？
算兩個量的比值和乘積。y ÷ x 固定是正比，例如總價和支數；x × y 固定是反比，例如路程固定時的速度和時間；兩個都不固定就都不是。
正比反比的符號怎麼寫？
正比寫成 y = kx 或 y ∝ x，反比寫成 xy = k 或 y ∝ 1/x，k 是不為 0 的比例常數。
連比怎麼算？
連比每一項同乘或同除以一個不為 0 的數，比不變。化簡時除以最大公因數；合成兩個比時，先把共同的那一項換成最小公倍數，例如 2 : 3 和 4 : 5 合成 8 : 12 : 15。
正比反比是幾年級學的？
108 課綱把比例式、正比和反比排在國中一年級，連比排在國中三年級。國小六年級的比與比值和速度是先備基礎。