數學王三角形的外角是什麼
把三角形的一條邊延長，延長線和相鄰的另一條邊形成的角，叫做這個頂點的外角。下圖把 BC 延長到 D，∠ACD 就是頂點 C 的外角。外角和同一個頂點的內角合起來是一條直線，所以內角 + 外角 = 180°，圖中 ∠ACB = 60°，外角 ∠ACD = 120°。
和外角不相鄰的兩個內角叫做它的內對角，∠ACD 的內對角是 ∠A 和 ∠B。圖中 ∠A = 70°、∠B = 50°，70° + 50° = 120°，剛好等於外角，這就是三角形外角定理。
外角和公式整理
n 代表多邊形的邊數。外角定理只適用於三角形，外角和 360 度則適用於所有凸多邊形。
外角定理和外角和公式怎麼來的
外角定理有兩種說明方式。第一種用三角形內角和：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，而外角 ∠ACD + ∠ACB 也是 180°，兩式都扣掉 ∠ACB，就得到 ∠ACD = ∠A + ∠B。第二種用平行線：過 C 畫一條和 AB 平行的直線，把外角切成兩塊，一塊和 ∠A 是內錯角，一塊和 ∠B 是同位角，所以外角等於 ∠A + ∠B。
外角和 360 度的推法是把每個頂點的內角和外角加起來。n 邊形有 n 個頂點，每個頂點內角 + 外角 = 180°，全部加起來是 n × 180°。其中內角和是 (n − 2) × 180°，所以外角和 = n × 180° − (n − 2) × 180° = 2 × 180° = 360°。n 被消掉了，所以外角和和邊數無關。
- 三角形：3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°。
- 四邊形：4 × 180° − 360° = 720° − 360° = 360°。
- 五邊形：5 × 180° − 540° = 900° − 540° = 360°。
- 六邊形：6 × 180° − 720° = 1080° − 720° = 360°。
三角形外角和為什麼是 360 度
另一種看法是沿著三角形的邊走一圈。從 B 往 C 走，到了 C 要轉一個外角的角度才能朝向 A，到了 A 再轉一個外角朝向 B，回到 B 再轉一個外角，就回到原本的方向，剛好轉了一整圈 360 度。多邊形也一樣，沿著邊走一圈回到原點，轉過的角度加起來就是一整圈。
下圖三個內角是 50°、70°、60°，三個外角分別是 180° − 50° = 130°、180° − 70° = 110°、180° − 60° = 120°，加起來 130° + 110° + 120° = 360°。
正多邊形的內角和外角對照表
正多邊形每個角都一樣大，所以每個外角 = 360° ÷ n，每個內角 = 180° − 每個外角。用外角算內角，比先算內角和再除以 n 快。
| 正多邊形 | 外角和 | 每個外角 | 每個內角 | 內角和 |
|---|---|---|---|---|
| 正三角形 | 360° | 120° | 60° | 180° |
| 正方形 | 360° | 90° | 90° | 360° |
| 正五邊形 | 360° | 72° | 108° | 540° |
| 正六邊形 | 360° | 60° | 120° | 720° |
| 正八邊形 | 360° | 45° | 135° | 1080° |
| 正九邊形 | 360° | 40° | 140° | 1260° |
| 正十邊形 | 360° | 36° | 144° | 1440° |
| 正十二邊形 | 360° | 30° | 150° | 1800° |
正七邊形每個外角是 360° ÷ 7，不是整數，約 51.43°。
外角例題
先判斷題目給的是內角還是外角，再選公式。
例 1三角形 ABC 中，∠A = 45°、∠B = 65°，延長 BC，求頂點 C 的外角。
- 外角等於兩個內對角的和：45° + 65° = 110°
- 檢查：∠C = 180° − 45° − 65° = 70°，外角 180° − 70° = 110°
答：110°
例 2三角形的一個外角是 130°，它的一個內對角是 55°，求另一個內對角。
- 外角 = 兩個內對角的和：130° = 55° + 另一個內對角
- 另一個內對角 = 130° − 55° = 75°
答：75°
例 3三角形三個外角的比是 2 : 3 : 4，求三個外角和三個內角。
- 外角和 360°，360° ÷ (2 + 3 + 4) = 40°
- 三個外角：40° × 2 = 80°，40° × 3 = 120°，40° × 4 = 160°
- 三個內角：180° − 80° = 100°，180° − 120° = 60°，180° − 160° = 20°，檢查 100° + 60° + 20° = 180°
答：外角 80°、120°、160°，內角 100°、60°、20°
例 4一個正多邊形每個外角是 24°，它是正幾邊形？每個內角幾度？
- 邊數 = 360° ÷ 24° = 15
- 每個內角 = 180° − 24° = 156°
答：正十五邊形，每個內角 156°
例 5一個五邊形有四個外角是 60°、75°、80°、90°，求第五個外角。
- 外角和是 360°：60° + 75° + 80° + 90° = 305°
- 第五個外角 = 360° − 305° = 55°
答：55°
外角和常見錯誤
外角和看起來簡單，錯誤大多來自定義沒弄清楚。
- 一個頂點取兩個外角：每個頂點延長兩條邊都可以得到外角，兩個外角是對頂角、一樣大，算外角和時每個頂點只能取一個。
- 以為邊數越多外角和越大：內角和會隨邊數增加，外角和永遠是 360 度。
- 把外角定理用在四邊形：外角等於兩個內對角的和只適用於三角形。
- 外角和內角搞混：題目說每個內角 140°，要先換成外角 180° − 140° = 40°，再用 360° ÷ 40° = 9 求邊數。
常見問題
三角形外角和是幾度？
360 度。每個頂點取一個外角，三個外角加起來是 360 度。三角形的內角和才是 180 度。
多邊形外角和公式是什麼？
任何凸多邊形每個頂點取一個外角，外角和都是 360 度，和邊數無關。因為 n 個頂點的內角加外角是 n × 180°，扣掉內角和 (n − 2) × 180°，剩下 360°。
三角形外角定理是什麼？
三角形的一個外角等於兩個內對角的和。例如兩個內角是 45 度和 65 度，第三個頂點的外角就是 110 度。
外角和是幾年級學的？
國二。108 課綱在國二學內角與外角的意義和三角形外角定理；多邊形外角和 360 度課綱註明國二不處理，可以當作從內角和公式推出來的延伸。