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多邊形內角和公式
內角是多邊形相鄰兩條邊在圖形裡面夾出的角，內角和就是所有內角加起來的度數。n 邊形有 n 個頂點、n 個內角，公式如下。
內角和公式怎麼來的
從一個頂點出發，連到所有不相鄰的頂點畫對角線。這個頂點和左右兩個相鄰頂點之間不用畫，所以 n 邊形從一個頂點可以畫 n − 3 條對角線，把圖形切成 n − 2 個三角形。這些三角形的角剛好拼成多邊形的所有內角，所以內角和是 (n − 2) × 180°。
另一種切法是在多邊形內部取一點，連到每個頂點，切成 n 個三角形，角度總和是 n × 180°；但中間那一點周圍多算了一圈 360°，要扣掉，n × 180° − 360° = (n − 2) × 180°，結果一樣。國中課本以凸多邊形為主，凹多邊形只要邊不交叉，內角和也是同一個公式。
多邊形內角和對照表
邊數每多 1，就多一個三角形，內角和多 180 度。正多邊形每個內角不是整數時，表中寫到小數第二位。
| 多邊形 | 切成幾個三角形 | 內角和 | 正多邊形每個內角 | 正多邊形每個外角 |
|---|---|---|---|---|
| 三角形 | 1 | 180° | 60° | 120° |
| 四邊形 | 2 | 360° | 90° | 90° |
| 五邊形 | 3 | 540° | 108° | 72° |
| 六邊形 | 4 | 720° | 120° | 60° |
| 七邊形 | 5 | 900° | 約 128.57° | 約 51.43° |
| 八邊形 | 6 | 1080° | 135° | 45° |
| 九邊形 | 7 | 1260° | 140° | 40° |
| 十邊形 | 8 | 1440° | 144° | 36° |
| 十一邊形 | 9 | 1620° | 約 147.27° | 約 32.73° |
| 十二邊形 | 10 | 1800° | 150° | 30° |
正多邊形每個外角 = 360° ÷ n，外角的整理在三角形外角和公式。
四邊形內角和是 360 度
四邊形畫一條對角線，就切成兩個三角形，內角和 2 × 180° = 360°。這是國小五年級就學過的性質，國二的公式 (4 − 2) × 180° = 360° 算出來一樣。長方形和正方形四個角都是 90°，90° × 4 = 360°，也符合這個結果。
平行四邊形、梯形、菱形都是四邊形，內角和都是 360°。平行四邊形的相鄰兩角加起來是 180°，因為它們是兩條平行邊的同側內角；梯形兩腰旁邊的角也一樣，上底和下底平行，所以同一腰上的兩個角相加 180°。
四邊形內角和例題
知道三個角求第四個角，用 360 度減掉已知的三個角。
例 1四邊形三個角是 80°、95°、110°，求第四個角。
- 已知三個角的和：80° + 95° + 110° = 285°
- 第四個角 = 360° − 285° = 75°
答：75°
例 2四邊形四個角的比是 1 : 2 : 3 : 4，求最大的角。
- 360° ÷ (1 + 2 + 3 + 4) = 360° ÷ 10 = 36°
- 最大的角 = 36° × 4 = 144°
答：144°
例 3梯形 ABCD 中 AD ∥ BC，∠B = 65°、∠C = 72°，求 ∠A 和 ∠D。
- AD ∥ BC，∠A 和 ∠B 是同側內角：∠A = 180° − 65° = 115°
- ∠D 和 ∠C 也是同側內角：∠D = 180° − 72° = 108°
- 檢查：115° + 65° + 72° + 108° = 360°
答：∠A = 115°，∠D = 108°
八邊形內角和是 1080 度
八邊形從一個頂點可以畫 8 − 3 = 5 條對角線，切成 6 個三角形，內角和是 6 × 180° = 1080°，用公式算是 (8 − 2) × 180° = 1080°。
正八邊形八個角一樣大，每個內角是 1080° ÷ 8 = 135°，每個外角是 180° − 135° = 45°，也可以用 360° ÷ 8 = 45° 驗算。
多邊形內角和例題
先確認題目問的是內角和、每個內角，還是邊數，再選公式。
例 1八邊形有七個角的和是 940°，求第八個角。
- 八邊形內角和 = (8 − 2) × 180° = 1080°
- 第八個角 = 1080° − 940° = 140°
答：140°
例 2一個多邊形的內角和是 1440°，它是幾邊形？
- n = 1440° ÷ 180° + 2
- 1440 ÷ 180 = 8，8 + 2 = 10
答：十邊形
例 3一個正多邊形每個內角是 140°，它是正幾邊形？
- 每個外角 = 180° − 140° = 40°
- 邊數 = 360° ÷ 40° = 9
- 驗算：(9 − 2) × 180° ÷ 9 = 1260° ÷ 9 = 140°
答：正九邊形
例 4有沒有內角和是 1000° 的多邊形？
- 內角和一定是 180° 的倍數
- 1000 ÷ 180 = 5 餘 100，不是整數倍
答：沒有
例 5正十二邊形每個內角幾度？
- 內角和 = (12 − 2) × 180° = 1800°
- 每個內角 = 1800° ÷ 12 = 150°
答：150°
國小基礎練習：試做 5 題
數學王的練習關卡是國小一到六年級，沒有國中的多邊形題目。國二的內角和公式建立在國小五年級學過的三角形內角和 180 度、四邊形內角和 360 度上，五年級的「內角和與扇形」關卡會出已知兩個角求三角形第三個角、已知三個角求四邊形第四個角，也有扇形圓心角的題目，可以先確認這個基礎。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
多邊形內角和公式是什麼？
n 邊形的內角和是 (n − 2) × 180°。例如五邊形 (5 − 2) × 180° = 540°，十邊形 (10 − 2) × 180° = 1440°。
四邊形內角和是幾度？
360 度。四邊形畫一條對角線會切成兩個三角形，2 × 180° = 360°，長方形、平行四邊形、梯形都一樣。
八邊形內角和是幾度？
1080 度，(8 − 2) × 180° = 1080°。正八邊形每個內角是 1080° ÷ 8 = 135°。
內角和是幾年級學的？
國小五年級學三角形內角和 180 度和四邊形內角和 360 度，國二學 n 邊形的內角和公式和正 n 邊形每個內角的度數。