數學王二元一次方程式是什麼
二元是兩個未知數，一次是未知數的次方都是 1。一般寫成 ax + by = c，a 和 b 都不是 0。只有一個式子時，任意給 x 一個值，就能算出對應的 y，所以有無限多組解，例如 x + y = 5 的解有 x = 0、y = 5，x = 1、y = 4，x = 2、y = 3 等等。
把兩個二元一次方程式用大括號放在一起，要求同時成立，就叫二元一次聯立方程式。題目說解二元一次方程式，通常就是指解聯立方程式，找出同時讓兩個式子成立的那一組 x、y。
解法一：代入消去法
代入消去法適合其中一個式子的 x 或 y 係數是 1 或 −1 的時候。先把那個式子改寫成 y = … 或 x = …，再代進另一個式子，就只剩一個未知數。
例 1解聯立方程式 x + y = 10，2x + 4y = 28
- 由第一式得 y = 10 − x
- 代入第二式：2x + 4(10 − x) = 28
- 2x + 40 − 4x = 28，−2x = −12，x = 6
- y = 10 − 6 = 4
- 檢查：6 + 4 = 10，2 × 6 + 4 × 4 = 12 + 16 = 28，兩式都成立
答：x = 6，y = 4
例 2解聯立方程式 y = 2x − 1，3x + 2y = 19
- 第一式已經是 y = …，直接代入第二式：3x + 2(2x − 1) = 19
- 3x + 4x − 2 = 19，7x = 21，x = 3
- y = 2 × 3 − 1 = 5
- 檢查：5 = 2 × 3 − 1，3 × 3 + 2 × 5 = 9 + 10 = 19，兩式都成立
答：x = 3，y = 5
解法二：加減消去法
加減消去法適合係數都不是 1 的時候。看哪個未知數的係數比較好處理，兩式各乘上適當的數，讓這個未知數的係數變成相同或相反：相反就相加，相同就相減，這個未知數就消掉了。
例 1解聯立方程式 3x + 2y = 16，5x − 2y = 16
- y 的係數 2 和 −2 剛好相反，兩式相加：8x = 32
- x = 4
- 代回第一式：12 + 2y = 16，y = 2
- 檢查：3 × 4 + 2 × 2 = 16，5 × 4 − 2 × 2 = 16，兩式都成立
答：x = 4，y = 2
例 2解聯立方程式 2x + 3y = 12，3x − 2y = 5
- 要消去 y：第一式乘以 2 得 4x + 6y = 24，第二式乘以 3 得 9x − 6y = 15
- 兩式相加：13x = 39，x = 3
- 代回第一式：6 + 3y = 12，y = 2
- 檢查：2 × 3 + 3 × 2 = 12，3 × 3 − 2 × 2 = 5，兩式都成立
答：x = 3，y = 2
二元一次方程式速解：先看係數再選方法
解二元一次方程式想要又快又不容易錯，關鍵是動筆前先看係數。有係數是 1 或 −1，用代入消去法；有係數相同或相反，直接加減；兩個式子的係數剛好左右對調，可以先把兩式相加、相減，得到 x + y 和 x − y，再求 x、y。
另一個速解的習慣是先化簡：每一項都有公因數的式子先約掉，例如 4x + 6y = 20 先除以 2 變成 2x + 3y = 10，後面的數字都會比較小。
例 1解聯立方程式 x + 2y = 7，2x + y = 8
- 係數左右對調，兩式相加：3x + 3y = 15，所以 x + y = 5
- 兩式相減，第二式減第一式：x − y = 1
- x + y = 5 和 x − y = 1 相加：2x = 6，x = 3；y = 5 − 3 = 2
- 檢查：3 + 2 × 2 = 7，2 × 3 + 2 = 8，兩式都成立
答：x = 3，y = 2
二元一次方程式公式解
把加減消去法用文字係數做一次，就能得到二元一次方程式的公式。這個公式在高中叫做克拉瑪公式，要用二階行列式來寫，國中課本不教，國中解題用代入或加減消去就夠了。這裡列出來，是方便用一般計算機算答案或對答案。
以 2x + 3y = 12、3x − 2y = 5 為例，a = 2、b = 3、c = 12、d = 3、e = −2、f = 5。分母 ae − bd = 2 × (−2) − 3 × 3 = −13，x = (12 × (−2) − 3 × 5) ÷ (−13) = −39 ÷ (−13) = 3，y = (2 × 5 − 12 × 3) ÷ (−13) = −26 ÷ (−13) = 2，和加減消去法的答案相同。
二元一次方程式計算機：用一般計算機算
數學王目前沒有專門解二元一次方程式的計算機。手邊有手機或一般計算機時，可以用上面的公式，照下面的步驟按，就能算出 x 和 y。
計算機最好拿來對答案，作業和考試還是要寫出代入消去或加減消去的過程。算完記得把 x、y 代回兩個原本的式子，兩個都成立才算對。
- 把兩個式子都整理成 ax + by = c 和 dx + ey = f，寫下 a、b、c、d、e、f，負號也要抄進去。
- 先算分母 ae − bd，如果是 0，代表沒有唯一的解。
- 算 ce − bf，再除以分母，得到 x。
- 算 af − cd，再除以分母，得到 y。
- 把 x、y 代回兩個原式檢查。
二元一次方程式應用題目
題目裡有兩個不知道的量時，直接設成 x 和 y，再從題目找出兩個等量關係，就能列出兩個式子。比起只用一個未知數，二元一次方程式列式通常比較直接。
例 1籠子裡有雞和兔，共 35 個頭、94 隻腳，雞和兔各有幾隻？
- 設雞 x 隻、兔 y 隻：x + y = 35，2x + 4y = 94
- 第一式乘以 2：2x + 2y = 70，和第二式相減：2y = 24，y = 12
- x = 35 − 12 = 23
- 檢查：23 + 12 = 35，2 × 23 + 4 × 12 = 46 + 48 = 94
答：雞 23 隻，兔 12 隻
例 2動物園門票大人 250 元、兒童 150 元，一群人共 8 人，門票共花 1700 元，大人和兒童各幾人？
- 設大人 x 人、兒童 y 人：x + y = 8，250x + 150y = 1700
- 由第一式 y = 8 − x，代入：250x + 150(8 − x) = 1700
- 250x + 1200 − 150x = 1700，100x = 500，x = 5，y = 3
- 檢查：5 + 3 = 8，250 × 5 + 150 × 3 = 1250 + 450 = 1700
答：大人 5 人，兒童 3 人
例 3一艘船順水 3 小時走 36 公里，逆水 4 小時走 32 公里，船在靜水中的速度和水流速度各是每小時幾公里？
- 設船速每小時 x 公里、水速每小時 y 公里，順水速度 x + y，逆水速度 x − y
- 3(x + y) = 36，4(x − y) = 32，化簡成 x + y = 12，x − y = 8
- 兩式相加：2x = 20，x = 10；y = 12 − 10 = 2
- 檢查：順水 3 × 12 = 36 公里，逆水 4 × 8 = 32 公里
答：船速每小時 10 公里，水速每小時 2 公里
二元一次方程式圖形：兩條直線的交點
在直角坐標平面上，一個二元一次方程式所有的解畫出來，會連成一條直線，所以 ax + by = c 的圖形是直線。例如 x + y = 5 會通過 (0, 5)、(1, 4)、(5, 0)；x − y = 1 會通過 (1, 0)、(3, 2)、(6, 5)。
聯立方程式的解要同時讓兩個式子成立，也就是同時在兩條直線上，所以解就是兩條直線的交點。圖中兩條線交在 (3, 2)，代表 x = 3、y = 2，代回檢查：3 + 2 = 5，3 − 2 = 1。另外，y = c 的圖形是水平線，x = c 的圖形是鉛垂線。
國中只處理兩條直線相交在一點的情形。兩條直線也可能平行，例如 x + y = 2 和 x + y = 6，沒有交點，聯立方程式無解；也可能重合，例如 x + y = 2 和 2x + 2y = 4，有無限多組解，這兩種情形高中才會詳細學。
相關主題
二元一次方程式要先會一元一次方程式的移項和驗算，解出來的 x、y 常是負數，需要時可以複習負數。直線和坐標平面的觀念，後面會接到二次函數的拋物線。
常見問題
二元一次方程式怎麼解？
用代入消去法或加減消去法，把其中一個未知數消掉，變成一元一次方程式。解出一個未知數後代回去求另一個，最後把兩個答案代回兩個原式檢查。
代入消去法和加減消去法要用哪一個？
有係數是 1 或 −1 時用代入消去法比較快；係數都不是 1，或某個未知數的係數相同、相反時，用加減消去法比較快。兩種方法的答案一定一樣。
二元一次方程式有公式解嗎？
有。ax + by = c、dx + ey = f 的解是 x = (ce − bf) ÷ (ae − bd)、y = (af − cd) ÷ (ae − bd)，ae − bd 不能是 0。這是高中才學的克拉瑪公式，國中課本不教。
二元一次方程式的圖形是什麼？
在坐標平面上是一條直線。聯立方程式的解，就是兩條直線的交點。