開始練習

一元一次方程式

一元一次方程式是只有一個未知數，而且未知數的次方是 1 的等式，例如 2x + 3 = 11。解法是利用等量公理，把含 x 的項留在一邊、數字移到另一邊：2x = 11 − 3 = 8，再兩邊同除以 2，得到 x = 4。代回原式 2 × 4 + 3 = 11，等式成立，就是答案。

108 課綱把一元一次方程式排在國一，是國中數學代數的第一個單元，也是後面二元一次方程式、一元一次不等式和一元二次方程式的基礎。國小用 □ 代表要求的數，例如 □ + 5 = 12，國中改用 x 這樣的文字符號，算法的道理是一樣的。

先看重點

  • 一元是一個未知數，一次是未知數最高次方為 1，方程式是含有未知數的等式。
  • 等量公理：等號兩邊同加、同減、同乘同一個數，或同除以不是 0 的數，等式仍然成立。
  • 移項要變號：加變減、減變加，乘變除、除變乘。
  • 解出來一定要代回原式檢查，左右兩邊相等才是正確答案。

一元一次方程式是什麼

一元一次方程式這個名稱可以拆成三部分來看：一元是只有一個未知數，一次是未知數的最高次方是 1，方程式是含有未知數的等式。能讓等式成立的未知數的值，叫做方程式的解，例如 x = 4 讓 2x + 3 = 11 成立，所以 x = 4 是它的解。

判斷是不是一元一次方程式，要三個條件都符合。下面幾個例子，第一個是，其他都差了一個條件。

  • 3x − 5 = 7：只有 x 一個未知數，次方是 1，有等號，是一元一次方程式。
  • x² + 1 = 5：未知數有平方，是二次，屬於一元二次方程式。
  • x + y = 10：有兩個未知數，屬於二元一次方程式。
  • 2x + 3：沒有等號，只是一個式子，不是方程式。
  • 2x + 3 > 11：用的是不等號，屬於一元一次不等式。

解法：等量公理和移項

解一元一次方程式的道理是等量公理：把方程式想成一個平衡的天平，兩邊做一樣的事，天平仍然平衡。移項是等量公理的簡便寫法，例如 2x + 3 = 11，兩邊同減 3 得到 2x = 11 − 3，看起來就像把 +3 搬到右邊變成 −3。

所有的一元一次方程式整理到最後，都會變成 ax = b 的樣子，a 不是 0，所以 x = b ÷ a。有人把 ax + b = 0 的解 x = −b ÷ a 叫做一元一次方程式公式解，其實就是移項再相除。

等量公理（加減）若 a = b，則 a + c = b + c，a − c = b − c兩邊同加或同減一個數
等量公理（乘除）若 a = b，則 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c除的時候 c 不能是 0
移項法則x + 3 = 11 → x = 11 − 3移到等號另一邊要變號，加變減、乘變除
最後一步ax = b → x = b ÷ aa 不是 0；ax + b = 0 的解是 x = −b ÷ a

一元一次方程式題目：由淺入深

下面六題從基本的移項開始，再加上括號、分數和小數，最後一步都代回原式檢查。遇到分數先乘以分母的最小公倍數，遇到小數先乘以 10 或 100，把係數變成整數，比較不容易算錯。

例 1解 3x − 5 = 16

  1. −5 移到右邊變 +5：3x = 16 + 5 = 21
  2. 兩邊同除以 3：x = 21 ÷ 3 = 7
  3. 檢查：3 × 7 − 5 = 21 − 5 = 16，等式成立

答：x = 7

例 2解 5x + 4 = 2x − 11

  1. 含 x 的項移到左邊、數字移到右邊：5x − 2x = −11 − 4
  2. 3x = −15
  3. x = −15 ÷ 3 = −5
  4. 檢查：左邊 5 × (−5) + 4 = −21，右邊 2 × (−5) − 11 = −21，兩邊相等

答：x = −5

例 3解 4(x − 3) = 2(x + 5)

  1. 先去括號：4x − 12 = 2x + 10
  2. 移項：4x − 2x = 10 + 12，2x = 22
  3. x = 11
  4. 檢查：左邊 4 × (11 − 3) = 32，右邊 2 × (11 + 5) = 32，兩邊相等

答：x = 11

例 4解 x/3 + x/4 = 7

  1. 3 和 4 的最小公倍數是 12，兩邊同乘以 12：4x + 3x = 84
  2. 7x = 84
  3. x = 12
  4. 檢查：12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7，等式成立

答：x = 12

例 5解 (x + 1)/2 − (x − 2)/3 = 2

  1. 兩邊同乘以 6，每一項都要乘到：3(x + 1) − 2(x − 2) = 12
  2. 去括號，注意減號後面的括號要變號：3x + 3 − 2x + 4 = 12
  3. x + 7 = 12，x = 5
  4. 檢查：(5 + 1)/2 − (5 − 2)/3 = 3 − 1 = 2，等式成立

答：x = 5

例 6解 0.2x + 1.5 = 0.5x − 0.3

  1. 兩邊同乘以 10，化成整數係數：2x + 15 = 5x − 3
  2. 移項：15 + 3 = 5x − 2x，18 = 3x
  3. x = 6
  4. 檢查：左邊 0.2 × 6 + 1.5 = 2.7，右邊 0.5 × 6 − 0.3 = 2.7，兩邊相等

答：x = 6

一元一次方程式觀念：最常見的四個錯誤

一元一次方程式的步驟不多，錯誤大多出在符號。寫完先別急著寫答案，代回原式檢查一次，這四種錯誤幾乎都能抓出來。

  • 移項忘了變號：3x − 5 = 16 寫成 3x = 16 − 5，答案就錯了。
  • 去分母只乘了一部分：x/3 + x/4 = 7 兩邊乘 12 時，右邊的 7 也要乘成 84。
  • 減號後面的括號沒有變號：−2(x − 2) 要展開成 −2x + 4，不是 −2x − 4。
  • 最後一步除錯方向：3x = −15 是用 −15 ÷ 3，不是 3 ÷ (−15)。

一元一次方程式應用題：列式四步驟

應用題的難處在列式。可以照這個順序：先決定要設什麼為 x，通常設題目問的量；再找出題目裡兩個相等的量；把兩邊都用 x 寫出來，接上等號；解完後回到題目檢查，答案要合理，例如人數不能是負數或小數。

國小學過的雞兔同籠，用一元一次方程式來解就不必假設，直接設其中一種的數量就能列式，下面第二題就是這種題型。

例 1爸爸今年 40 歲，兒子今年 12 歲，幾年後爸爸的年齡會是兒子的 2 倍？

  1. 設 x 年後，爸爸 40 + x 歲，兒子 12 + x 歲
  2. 爸爸是兒子的 2 倍：40 + x = 2(12 + x)
  3. 40 + x = 24 + 2x，40 − 24 = 2x − x，x = 16
  4. 檢查：16 年後爸爸 56 歲、兒子 28 歲，56 = 2 × 28

答：16 年後

例 2鉛筆一枝 8 元，原子筆一枝 15 元，兩種一共買了 12 枝，花了 145 元，原子筆買了幾枝？

  1. 設原子筆 x 枝，鉛筆就是 12 − x 枝
  2. 15x + 8(12 − x) = 145
  3. 15x + 96 − 8x = 145，7x = 49，x = 7
  4. 檢查：原子筆 7 枝、鉛筆 5 枝，15 × 7 + 8 × 5 = 105 + 40 = 145

答：原子筆 7 枝

例 3哥哥每分鐘走 60 公尺，先出發 10 分鐘；弟弟騎腳踏車每分鐘 180 公尺，從同一個地方出發去追，弟弟要騎幾分鐘才追上？

  1. 設弟弟騎 x 分鐘追上，這時哥哥已經走了 x + 10 分鐘
  2. 追上時兩人走的距離一樣：180x = 60(x + 10)
  3. 180x = 60x + 600，120x = 600，x = 5
  4. 檢查：弟弟 180 × 5 = 900 公尺，哥哥 60 × 15 = 900 公尺

答：5 分鐘

例 4老師分糖果，每人分 5 顆會多 8 顆，每人分 7 顆會少 4 顆，有幾個學生？糖果有幾顆？

  1. 設有 x 個學生，兩種分法的糖果總數一樣
  2. 5x + 8 = 7x − 4
  3. 8 + 4 = 7x − 5x，12 = 2x，x = 6
  4. 糖果 5 × 6 + 8 = 38 顆；檢查：7 × 6 − 4 = 38，兩種算法相同

答：6 個學生，38 顆糖果

例 5一件外套先打 8 折，再折價 100 元，最後賣 700 元，原價是多少元？

  1. 設原價 x 元，打 8 折是 0.8x 元
  2. 0.8x − 100 = 700
  3. 0.8x = 800，x = 800 ÷ 0.8 = 1000
  4. 檢查：1000 × 0.8 = 800，800 − 100 = 700

答：1000 元

一元一次方程式計算機：自己用計算機解

數學王目前沒有專門解一元一次方程式的計算機。不過一元一次方程式的步驟很固定，先自己移項整理，最後只剩一個除法，用手機或一般計算機就能算出答案。

整理的方法是：把方程式寫成 ax + b = cx + d 的樣子，含 x 的移到左邊、數字移到右邊，得到 (a − c)x = d − b，所以 x = (d − b) ÷ (a − c)，a 和 c 不能一樣。例如 7x + 12 = 3x − 8，a = 7、b = 12、c = 3、d = −8，x = (−8 − 12) ÷ (7 − 3) = −20 ÷ 4 = −5。

有些工程計算機有解方程式的功能，各機型的按法不一樣，要看那台計算機的說明書。不論用哪一種計算機，最後都要把答案代回原式檢查，代回時記得四則運算先乘除後加減的順序。

  1. 有括號先去括號，有分數或小數先乘成整數。
  2. 含 x 的項移到等號左邊，數字移到右邊，移項要變號。
  3. 左右各自合併，變成 ax = b。
  4. 用計算機算 b ÷ a，得到 x。
  5. 把 x 代回原本的方程式，左右兩邊相等才算完成。

比例式和連比例式

比例式是兩個比相等的式子，例如 a : b = c : d。108 課綱把比和比例式排在國一，國小六年級學過的比與比值是它的基礎。比例式最重要的性質是外項乘積等於內項乘積，也就是 a × d = b × c，用這個性質就能把比例式變成一元一次方程式來解。

連比例式是三個以上的數連在一起的比，例如 x : y : z = 2 : 3 : 5，意思是 x、y、z 依序是 2 份、3 份、5 份。解題時設每一份是 k，寫成 x = 2k、y = 3k、z = 5k，就只剩一個未知數 k。比例的關係延伸到函數，就是正比反比。

比例式的性質a : b = c : d → a × d = b × c外項 a、d 的乘積等於內項 b、c 的乘積
比例式的另一種寫法a : b = c : d → a/b = c/d兩個比的比值相等，b、d 不是 0
連比例式x : y : z = a : b : c → x = ak，y = bk，z = ckk 是每一份的大小，k 不是 0
兩個比合成連比x : y = 2 : 3，y : z = 4 : 5 → x : y : z = 8 : 12 : 15讓兩個比裡的 y 變成同樣的份數，3 和 4 的最小公倍數是 12

比例式和連比例式例題

比例式化成一元一次方程式以後，解法和前面一樣。連比例式的題目，關鍵是先設每一份是 k。

例 1x : 6 = 4 : 3，x 是多少？

  1. 外項乘積等於內項乘積：3x = 6 × 4 = 24
  2. x = 8
  3. 檢查：8 : 6 的比值是 8/6 = 4/3，和 4 : 3 相同

答：x = 8

例 2(x + 2) : 5 = (x − 1) : 2，x 是多少？

  1. 2(x + 2) = 5(x − 1)
  2. 2x + 4 = 5x − 5，4 + 5 = 5x − 2x，3x = 9
  3. x = 3
  4. 檢查：(3 + 2) : 5 = 5 : 5，(3 − 1) : 2 = 2 : 2，比值都是 1

答：x = 3

例 3x : y : z = 2 : 3 : 5，而且 x + y + z = 60，求 x、y、z。

  1. 設 x = 2k、y = 3k、z = 5k
  2. 2k + 3k + 5k = 60，10k = 60，k = 6
  3. x = 12，y = 18，z = 30
  4. 檢查：12 + 18 + 30 = 60，12 : 18 : 30 同除以 6 是 2 : 3 : 5

答：x = 12，y = 18，z = 30

例 4x : y = 2 : 3，y : z = 4 : 5，求 x : y : z。

  1. y 在兩個比裡分別是 3 份和 4 份，3 和 4 的最小公倍數是 12
  2. x : y = 2 : 3 = 8 : 12，y : z = 4 : 5 = 12 : 15
  3. x : y : z = 8 : 12 : 15
  4. 檢查：8 : 12 = 2 : 3，12 : 15 = 4 : 5

答：8 : 12 : 15

先把國小的比練熟：試做 5 題

數學王的練習關卡是國小一到六年級，沒有國中的方程式練習。比例式要先會國小六年級的比與比值，這一關會出 1 : 3 = 4 : ? 這種求比例中未知項的題目，還有化成最簡整數比，正好是比例式的基礎。不用登入，做完會告訴你答對幾題。

準備好就開始，一共 5 題。

學完一元一次方程式，接下來學什麼

一元一次方程式學熟了，國一下學期的二元一次方程式就是把兩個未知數變成一個，再用這頁的方法解；把等號換成不等號，就是一元一次不等式。如果解題時常在正負號上出錯，可以回頭複習負數的運算。

常見問題

一元一次方程式怎麼解？

把含 x 的項移到等號一邊、數字移到另一邊，移項時要變號，整理成 ax = b，再兩邊同除以 a。例如 3x − 5 = 16，3x = 21，x = 7。最後代回原式檢查。

移項為什麼要變號？

移項其實是等量公理。x + 3 = 11 兩邊同減 3，左邊的 +3 不見了，右邊多了 −3，看起來就像 +3 搬過去變成 −3。乘除也一樣，兩邊同除以 2，就像乘 2 搬過去變成除以 2。

一元一次方程式是幾年級學的？

108 課綱排在國中七年級，也就是國一，包括方程式的意義、等量公理、移項法則、驗算和應用問題。

比例式怎麼算？

用外項乘積等於內項乘積。a : b = c : d 可以寫成 a × d = b × c，例如 x : 6 = 4 : 3，3x = 24，x = 8。

延伸學習

上一層

對應年級

同一個主題的其他內容