質因數分解

質因數分解是什麼

先認識兩個詞。一個數如果只有 1 和它自己兩個因數，就叫質數，例如 7 只能寫成 1 × 7。一個數如果除了 1 和自己以外還有別的因數，就叫合數，例如 12 可以寫成 3 × 4。1 只有一個因數，所以既不是質數也不是合數。

一個數的因數裡面是質數的，叫做它的質因數。60 的因數有 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，其中 2、3、5 是質數，所以 60 的質因數是 2、3、5。把 60 寫成質因數相乘的樣子 2 × 2 × 3 × 5，就是質因數分解。注意 2 要寫兩次，因為 60 裡面有兩個 2，少寫一個乘回去就不是 60 了。

很多人找質因數分解公式，其實它沒有一條可以代的公式，靠的是一直除以質數。國中會把重複的質數寫成次方，例如 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 寫成 2³ × 3² × 5，這叫標準分解式，是國中一年級才學的寫法。

• 20 以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19
• 20 以內的合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20
• 2 是唯一的雙數質數，其他雙數都能被 2 整除，所以都是合數。

質因數分解法一：樹狀圖

樹狀圖適合剛開始學的孩子。先把 60 拆成兩個數相乘，想到哪一組都可以，例如 6 × 10。還能拆的數就繼續往下拆：6 = 2 × 3，10 = 2 × 5。拆到每個數都是質數就停，最下面圈起來的數乘在一起就是答案。

如果一開始拆成 4 × 15 或 2 × 30，最後圈起來的一樣是 2、2、3、5。這個性質讓孩子可以放心用自己熟的乘法去拆，不用擔心拆錯方向。

質因數分解法二：短除法

短除法是國小課本用的做法，也是考試最常看到的寫法。從最小的質數 2 開始試，能整除就把 2 寫在左邊、商寫在下面；2 除不了就換 3，再換 5、7，一直除到下面剩下的數是質數為止。左邊的除數和最下面的質數乘起來，就是質因數分解。

判斷能不能除有三個好用的方法：個位數是 0、2、4、6、8 的數能被 2 整除；每一位的數字加起來是 3 的倍數，這個數就能被 3 整除；個位數是 0 或 5 的數能被 5 整除。

91 的質因數分解：看起來像質數的數

91 是很多孩子會寫錯的數。它是單數，不能被 2 整除；9 + 1 = 10 不是 3 的倍數，不能被 3 整除；個位不是 0 或 5，不能被 5 整除。2、3、5 都試過了，很容易就以為 91 是質數。

108 課綱特別把 49、77、91 列為國小可以出現的數，這三個數都要用 7 去試才拆得開。所以 2、3、5 都除不了的時候，記得接著試 7、11、13、17、19。

常見數字的質因數分解對照表

下面是課本和考卷常出現的數。51 和 57 也是容易看錯的數，它們的數字和 5 + 1 = 6、5 + 7 = 12 都是 3 的倍數，所以都能被 3 整除。

想檢查其他數字拆得對不對，可以用質因數分解計算機，輸入一個數就會列出每一步。

質因數分解可以用來做什麼

質因數分解最常用在求最大公因數和約分。把兩個數都分解以後，兩邊都有的質因數乘起來，就是它們的最大公因數。

質因數分解練習：馬上試做 5 題

「質因數和最簡分數」會出質因數分解的填空，例如 36 = 2 × 2 × 3 × ?，也會出最大公因數、最小公倍數和約分；五年級還沒學質因數的孩子，可以先練「公因數和公倍數」。不用登入，做完會告訴你答對幾題。

質因數分解常見的錯

寫完最好把答案乘回去檢查一次，乘出來等於原來的數，而且每個數都是質數，才算做完。這些是最大公因數單元裡的基本功，熟了以後求公因數、公倍數和約分都會快很多。

• 把 1 寫進去：60 = 1 × 2 × 2 × 3 × 5 不算錯在乘積，但 1 不是質數，不能寫在質因數分解裡。
• 留下合數：60 = 4 × 15 乘起來對，但 4 和 15 都還能拆，要拆到全部都是質數。
• 少寫重複的質數：60 的質因數是 2、3、5，但質因數分解要寫 2 × 2 × 3 × 5，2 要出現兩次。
• 只試 2、3、5 就停：像 91、77 要試 7，143 要試 11，才拆得開。

常見問題

延伸學習