數學王幾何平均數公式
開根號的意思是反過來問：哪一個數自己乘自己會得到它？例如 36 開根號是 6，因為 6 × 6 = 36。孩子還沒學根號沒關係，只要用九九乘法想「幾乘幾等於 36」就能找到。
算術平均數是加起來再平分，幾何平均數是乘起來再平分成幾個一樣的數相乘，所以一個看加法、一個看乘法。
圖解：長方形變成面積一樣的正方形
幾何平均數的「幾何」可以用圖來看。一個長 8 公分、寬 2 公分的長方形，面積是 2 × 8 = 16 平方公分。如果要畫一個面積一樣的正方形，邊長要是 4 公分，因為 4 × 4 = 16。這個 4 就是 2 和 8 的幾何平均數。
如果用算術平均數 (2 + 8) ÷ 2 = 5 當邊長，正方形面積是 5 × 5 = 25 平方公分，比 16 大太多。所以說兩個數相乘的時候，要用幾何平均數才平均得剛好。
幾何平均數怎麼算：例題
前三題的數字都選得剛好，用九九乘法就能找到答案；第四題算不整，要用計算機的 √ 鍵，答案是近似值。
例 14 和 9 的幾何平均數是多少？
- 相乘：4 × 9 = 36
- 找自己乘自己等於 36 的數：6 × 6 = 36
- 比較：算術平均數是 (4 + 9) ÷ 2 = 6.5，比 6 大
答：6
例 21、3、9 三個數的幾何平均數是多少？
- 相乘：1 × 3 × 9 = 27
- 找連乘三次等於 27 的數：3 × 3 × 3 = 27
答：3
例 32、4、8 三個數的幾何平均數是多少？
- 相乘：2 × 4 × 8 = 64
- 找連乘三次等於 64 的數：4 × 4 × 4 = 64
- 比較：算術平均數是 (2 + 4 + 8) ÷ 3 = 14 ÷ 3，約 4.67，比 4 大
答：4
例 43 和 5 的幾何平均數大約是多少？（四捨五入到小數第二位）
- 相乘：3 × 5 = 15
- 3 × 3 = 9、4 × 4 = 16，所以答案在 3 和 4 之間，而且很靠近 4
- 用計算機按 15 再按 √，得到 3.872…，四捨五入約 3.87
- 驗算：3.87 × 3.87 = 14.9769，很接近 15
答：約 3.87
什麼時候用幾何平均數
數量是一次一次「變成幾倍」的時候，平均每次變幾倍要用幾何平均數，例如植物長高、存款利息、人口成長。下面兩題讓孩子體會，直接把倍數相加除以 2 會算錯。
例 1一盆小苗第一個月長成原來的 2 倍高，第二個月又長成上個月的 8 倍高，平均每個月長成幾倍？
- 兩個月一共變成 2 × 8 = 16 倍
- 找一個倍數連續用兩次也是 16 倍：4 × 4 = 16
- 如果用 (2 + 8) ÷ 2 = 5 倍，兩個月會變成 5 × 5 = 25 倍，比實際的 16 倍多太多
答：平均每個月長成 4 倍
例 2小美存的錢第一年增加了 25%，第二年增加了 80%，平均每年增加百分之幾？
- 增加 25% 就是變成 1.25 倍，增加 80% 就是變成 1.8 倍
- 兩年一共變成 1.25 × 1.8 = 2.25 倍
- 找一個倍數連續用兩次是 2.25 倍：1.5 × 1.5 = 2.25
- 1.5 倍就是增加 50%
- 如果用 (25% + 80%) ÷ 2 = 52.5%，兩年會變成 1.525 × 1.525 = 2.325625 倍，比 2.25 倍多
答：平均每年增加 50%
幾何平均數和算術平均數比一比
比較下面幾組數字會發現，兩個數不一樣的時候，幾何平均數都比算術平均數小，而且兩個數差越多，兩種平均差得越多；兩個數一樣時，兩種平均相等。這就是高中一年級要學的算幾不等式。
| 兩個數 | 算術平均數 | 幾何平均數 |
|---|---|---|
| 5 和 5 | (5 + 5) ÷ 2 = 5 | 5 × 5 = 25，答案 5 |
| 4 和 9 | (4 + 9) ÷ 2 = 6.5 | 4 × 9 = 36，答案 6 |
| 2 和 8 | (2 + 8) ÷ 2 = 5 | 2 × 8 = 16，答案 4 |
| 1 和 9 | (1 + 9) ÷ 2 = 5 | 1 × 9 = 9，答案 3 |
2 和 8、1 和 9 的算術平均數都是 5，但 1 和 9 差得比較多，幾何平均數也比較小。
相關練習：試做 5 題
數學王沒有幾何平均數的關卡，因為它不在國小課程裡。五年級的「併式和分配律」有求平均的題目，練的是國小學的算術平均數，可以拿來和這頁比較；二年級的九九乘法則是找幾何平均數的基本功，想得出「幾乘幾等於 36」，就找得出 4 和 9 的幾何平均數。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
幾何平均數怎麼算？
兩個數就相乘，再找哪個數自己乘自己會等於這個乘積。例如 2 和 8 相乘是 16，4 × 4 = 16，幾何平均數是 4。三個數就相乘後找連乘三次的數。
幾何平均數是幾年級學的？
國小不教。國中八年級學平方根，依 108 課綱，幾何平均數和算幾不等式在高中一年級的指數單元正式學。
幾何平均數和算術平均數哪裡不一樣？
算術平均數是加起來再平分，幾何平均數是乘起來再平分成幾個一樣的數相乘。資料是一次一次變幾倍時用幾何平均數，其他大部分情形用算術平均數。兩個不同的正數，幾何平均數一定比算術平均數小。