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等差數列是什麼
把數依照順序排成一列，就是數列。第 1 個數叫做首項，寫成 a₁；第 n 個數叫做第 n 項，寫成 aₙ；項數有限的數列，最後一項叫做末項。如果每一項減去前一項的差都一樣，這個數列就是等差數列，這個差叫做公差，通常用 d 表示。
公差可以是正數、負數或 0。2、5、8、11 的公差是 3，越來越大；20、17、14、11 的公差是 −3，越來越小；6、6、6、6 的公差是 0，也算等差數列。1、2、4、8 相鄰兩項的差是 1、2、4，不一樣，所以不是等差數列，它每次乘 2，是等比數列。
等差數列公式整理
從首項開始，每往後一項就加一次公差：a₂ = a₁ + d，a₃ = a₁ + 2d，a₄ = a₁ + 3d，所以第 n 項要加 n − 1 次公差。最常見的錯誤是寫成 a₁ + nd，用第 1 項檢查就知道不對：n = 1 時答案應該是 a₁ 本身，a₁ + (1 − 1)d = a₁ 才正確。
等差數列公差公式
公差最直接的算法是相鄰兩項相減，後項減前項。如果知道首項和第 n 項，兩者中間隔了 n − 1 個公差，所以公差 = (第 n 項 − 首項) ÷ (n − 1)。算出來是負數，表示數列越來越小。
依 108 課綱，國中不處理只給兩個不相鄰的項，而且都不是首項，再反過來求首項或公差的題目。
等差數列題目
做等差數列題目，先寫出首項 a₁ 和公差 d，再判斷題目要求的是第幾項、公差還是項數，套進對應的公式。
例 1等差數列 3、7、11、15…，第 20 項是多少？
- 首項 a₁ = 3，公差 d = 7 − 3 = 4
- a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79
答：79
例 2等差數列 50、47、44…，第 10 項是多少？
- 首項 a₁ = 50，公差 d = 47 − 50 = −3
- a₁₀ = 50 + (10 − 1) × (−3) = 50 − 27 = 23
答：23
例 3等差數列 5、8、11、…、101 一共有幾項？
- 首項 5，末項 101，公差 8 − 5 = 3
- n = (101 − 5) ÷ 3 + 1 = 96 ÷ 3 + 1 = 32 + 1 = 33
答：33 項
例 4等差數列的首項是 4，第 9 項是 28，公差是多少？
- 從第 1 項到第 9 項，中間有 9 − 1 = 8 個公差
- d = (28 − 4) ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3
- 檢查：4 + 8 × 3 = 28
答：3
例 5劇場第一排有 20 個座位，後面每一排都比前一排多 2 個，第 15 排有幾個座位？
- 每排座位數是首項 20、公差 2 的等差數列
- a₁₅ = 20 + (15 − 1) × 2 = 20 + 28 = 48
答：48 個
例 63、x、11 成等差數列，x 是多少？
- x 是 3 和 11 的等差中項
- x = (3 + 11) ÷ 2 = 7
- 檢查：7 − 3 = 4，11 − 7 = 4，公差相同
答：7
等差數列和等比數列比一比
國二同時學等差數列和等比數列，兩者很容易搞混。等差是每次加同一個數，等比是每次乘同一個數，判斷時先算相鄰兩項的差，差都一樣就是等差，不一樣再算相鄰兩項的比。
| 比較 | 等差數列 | 等比數列 |
|---|---|---|
| 規律 | 每次加同一個數 | 每次乘同一個數 |
| 關鍵的數 | 公差 d = 後項 − 前項 | 公比 r = 後項 ÷ 前項 |
| 第 n 項 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ × r 的 (n − 1) 次方 |
| 例子 | 2、5、8、11 | 2、6、18、54 |
| 總和公式 | 等差級數公式，國二學 | 等比級數公式，高一學 |
相關主題
等差數列是國二數列單元的第一課，後面兩個主題都從這裡延伸。
常見問題
等差數列公式是什麼？
第 n 項 aₙ = a₁ + (n − 1)d，也就是首項加上 n − 1 個公差。例如 3、7、11…的第 20 項是 3 + 19 × 4 = 79。
等差數列的公差怎麼算？
用後項減前項，例如 50、47、44 的公差是 47 − 50 = −3。知道首項和第 n 項時，公差 = (第 n 項 − 首項) ÷ (n − 1)。
等差數列總和公式是什麼？
總和 = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2。例如 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050。
等差數列是幾年級學的？
依 108 課綱，數列、等差數列、等差級數和等比數列都在國二學；等比級數的求和排在高一。