數學王直角三角形邊長公式
前兩條公式都是把畢氏定理移項再開根號，後面三條是邊長算好以後常接著考的題目。根號的意思可以看根號。
已知斜邊和一條直角邊，求另一條直角邊
下圖斜邊是 13、一條直角邊是 5，要求的是另一條直角邊。因為直角邊² + 直角邊² = 斜邊²，所以要求的直角邊² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144，開根號得到 12。這裡最常犯的錯，是習慣性地把兩個數平方相加，算出 √194，比斜邊還長，一看就知道不對。
直角三角形邊長計算對照表
每一列都可以自己算一次再對答案。根號開不盡的，保留根號是精確值，括號後面是四捨五入到小數第 3 位的近似值。
| 已知 | 要求 | 算式 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 直角邊 6、8 | 斜邊 | √(36 + 64) = √100 | 10 |
| 斜邊 10、直角邊 6 | 另一條直角邊 | √(100 − 36) = √64 | 8 |
| 斜邊 25、直角邊 7 | 另一條直角邊 | √(625 − 49) = √576 | 24 |
| 斜邊 17、直角邊 15 | 另一條直角邊 | √(289 − 225) = √64 | 8 |
| 斜邊 5、直角邊 2 | 另一條直角邊 | √(25 − 4) = √21 | √21，約 4.583 |
| 斜邊 4、直角邊 1 | 另一條直角邊 | √(16 − 1) = √15 | √15，約 3.873 |
| 直角邊 1、1 | 斜邊 | √(1 + 1) = √2 | √2，約 1.414 |
三邊都是整數的組合，例如 3、4、5 和 5、12、13，整理在畢氏定理常見組合。
直角三角形邊長計算：開不盡時用根號計算機
先自己算好根號裡面的數，再交給計算機開根號。例如斜邊 5、直角邊 2，5 × 5 − 2 × 2 = 21，把預設的 12 改成 21，會得到 √21 ≈ 4.582576，介於 4 和 5 之間。根號裡是 72 時，計算機會化成 6√2，方便寫成最簡根式。
直角三角形邊長計算例題
先確認哪一條是斜邊，再決定用加的還是減的。判斷題要拿最長的邊當斜邊來檢查。
例 1直角三角形的斜邊是 10 公分，一條直角邊是 6 公分，另一條直角邊是多少？
- 另一條直角邊² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
- 另一條直角邊 = √64 = 8（公分）
答：8 公分
例 2三邊長 7、24、25 的三角形是直角三角形嗎？
- 最長邊是 25，25² = 625
- 7² + 24² = 49 + 576 = 625
- 兩者相等，所以是直角三角形，25 是斜邊
答：是直角三角形
例 3三邊長 4、5、6 的三角形是直角三角形嗎？
- 最長邊是 6，6² = 36
- 4² + 5² = 16 + 25 = 41
- 41 不等於 36，所以不是直角三角形
答：不是直角三角形
例 4直角三角形的兩條直角邊是 6 公分和 8 公分，斜邊上的高是多少？
- 斜邊 = √(36 + 64) = 10（公分）
- 面積 = 6 × 8 ÷ 2 = 24（平方公分）
- 斜邊上的高 = 24 × 2 ÷ 10 = 4.8（公分）
答：4.8 公分
例 5直角三角形的斜邊是 5 公分，一條直角邊是 3 公分，面積和周長各是多少？
- 另一條直角邊 = √(25 − 9) = √16 = 4（公分）
- 面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6（平方公分）
- 周長 = 3 + 4 + 5 = 12（公分）
答：面積 6 平方公分，周長 12 公分
只知道一條邊和角度怎麼求邊長
只知道一條邊時，畢氏定理不夠用，還要知道角度。角度是 30 度、60 度、90 度時，三邊比是 1 : √3 : 2；角度是 45 度、45 度、90 度時，三邊比是 1 : 1 : √2。例如 30 度、60 度、90 度的三角形斜邊 8，30 度角對面的直角邊是 4，另一條直角邊是 4√3，約 6.93。詳細的換算在直角三角形比例。
如果角度是 20 度、50 度這類一般的角，邊長比要用正弦、餘弦、正切來算，這是高中一年級的三角比，國中不會考。國中的題目給角度時，幾乎都是 30 度、45 度、60 度。
常見問題
直角三角形邊長怎麼算？
用畢氏定理：直角邊² + 直角邊² = 斜邊²。求斜邊時兩條直角邊平方相加再開根號；求直角邊時斜邊平方減另一條直角邊平方再開根號。
直角三角形邊長公式有哪些？
斜邊 = √(直角邊² + 直角邊²)，直角邊 = √(斜邊² − 另一條直角邊²)，斜邊上的高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊。
知道斜邊怎麼求直角邊？
還要再知道一條直角邊或一個角。知道一條直角邊時，另一條 = √(斜邊² − 直角邊²)，例如斜邊 13、直角邊 5，另一條是 12。
怎麼判斷三條邊能不能圍成直角三角形？
把最長的邊平方，和另外兩邊的平方和比較，相等就是直角三角形。例如 5、12、13：25 + 144 = 169 = 13²，是直角三角形。