數學王指數是什麼
同一個數連乘好幾次，可以寫成次方。2 × 2 × 2 × 2 × 2 寫成 2⁵，讀作 2 的 5 次方，2 叫做底數，5 叫做指數，表示有 5 個 2 相乘，2⁵ = 32。10³ = 10 × 10 × 10 = 1000，所以 10 的幾次方就是 1 後面接幾個 0。
底數是負數時要加括號，(−3)² = (−3) × (−3) = 9，而 −3² = −9，只有 3 被平方，這部分在負數有更多例子。另外規定 a¹ = a；a 不是 0 時 a⁰ = 1，原因是 2³ ÷ 2³ = 1，用指數律算又是 2³⁻³ = 2⁰，兩個答案要一致，所以 2⁰ = 1。國中不討論 0 的 0 次方，所以 0 次方的底數規定不能是 0。
指數律公式
國中的指數律公式有下面幾條，m、n 是 0 或正整數。前三條是同一個底數的運算，第四、五條是底數不同、但指數相同的運算。
指數律口訣和為什麼成立
指數律不用死背，把次方展開數一數有幾個底數就懂了。2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2)，一共 5 個 2，所以是 2⁵，指數 3 + 2 = 5。2⁵ ÷ 2² 是 5 個 2 約掉 2 個 2，剩下 3 個，所以是 2³。(2³)² = 2³ × 2³，是 2 組各 3 個 2，一共 6 個，所以是 2⁶。
整理成口訣，方便考試時快速想起來。
- 同底相乘，指數相加。
- 同底相除，指數相減。
- 次方再次方，指數相乘。
- 乘積的次方，每個因數都取次方。
- 不是 0 的數，0 次方都是 1。
指數律例題
做題目時先看底數是不是一樣。底數不一樣，常常可以把其中一個數換成另一個底數的次方，例如 4 = 2²、8 = 2³、9 = 3²，換成同底數就能用指數律。
例 1計算 2³ × 2⁴。
- 同底相乘，指數相加：2³⁺⁴ = 2⁷
- 2⁷ = 128
答：128
例 2計算 7⁹ ÷ 7⁷。
- 同底相除，指數相減：7⁹⁻⁷ = 7²
- 7² = 49
答：49
例 3計算 4³ × 8。
- 4 = 2²，8 = 2³
- 4³ × 8 = (2²)³ × 2³ = 2⁶ × 2³
- = 2⁹ = 512
答：512
例 4計算 (−2)³ × (−2)²。
- 底數都是 −2，指數相加：(−2)⁵
- 5 是奇數，答案是負的：−32
答：−32
例 5計算 25³ × 4³。
- 指數相同，底數相乘：(25 × 4)³
- = 100³ = 1000000
答：1000000
例 62³⁰ 和 3²⁰ 哪個比較大？
- 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰
- 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰
- 指數都是 10，底數 9 > 8
答：3²⁰ 比較大
指數律常見的錯
- 2³ × 2⁴ 寫成 4⁷：同底相乘底數不變，答案是 2⁷。
- 2³ × 2⁴ 寫成 2¹²：相乘是指數相加，不是指數相乘。
- (2³)² 和 2 的 3² 次方搞混：(2³)² = 2⁶ = 64，2 的 3² 次方是 2⁹ = 512。
- 2³ × 3² 想合併：底數和指數都不同，不能用指數律，只能算 8 × 9 = 72。
- −2⁴ 當成 16：沒有括號時只有 2 被乘方，−2⁴ = −16，(−2)⁴ 才是 16。
指數律加減怎麼算
指數律只有乘、除和次方的公式，沒有加減的公式。2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24，而 2⁷ = 128，所以 2³ + 2⁴ 不等於 2⁷。次方相加減時，有兩種做法：數字小就直接算出數值；同底數的次方，可以提出公因數再用指數律。
同一個次方相加幾次，就是乘以幾，例如 2⁴ + 2⁴ = 2 × 2⁴。指數不同時，提出比較小的次方，例如 5³ + 5² = 5² × 5 + 5² = 5² × (5 + 1)。
例 1計算 2⁴ + 2⁴。
- 2⁴ + 2⁴ = 2 × 2⁴
- = 2¹⁺⁴ = 2⁵ = 32
答：2⁵ = 32
例 2計算 3⁵ + 3⁵ + 3⁵。
- 3 個 3⁵ 相加 = 3 × 3⁵
- = 3⁶ = 729
答：3⁶ = 729
例 3計算 2⁵ − 2⁴。
- 提出 2⁴：2⁵ − 2⁴ = 2⁴ × (2 − 1)
- = 2⁴ × 1 = 16
答：16
例 4計算 5³ + 5²。
- 提出 5²：5² × (5 + 1)
- = 25 × 6 = 150
- 驗算：125 + 25 = 150
答：150
例 5計算 10⁴ − 10³。
- 提出 10³：10³ × (10 − 1)
- = 1000 × 9 = 9000
答：9000
指數律題目（附答案）
下面 15 題由淺入深，前面直接套公式，後面要先換成同底數，最後兩題是指數律加減。先遮住答案欄自己算，再對答案。
| 題號 | 題目 | 答案 |
|---|---|---|
| 1 | 2⁵ × 2³ | 2⁸ = 256 |
| 2 | 10² × 10⁴ | 10⁶ = 1000000 |
| 3 | 3⁷ ÷ 3⁴ | 3³ = 27 |
| 4 | (5²)² | 5⁴ = 625 |
| 5 | 7⁰ | 1 |
| 6 | (−1)¹⁵ | −1 |
| 7 | 2⁴ × 5⁴ | 10⁴ = 10000 |
| 8 | 9² × 3 | 3⁵ = 243 |
| 9 | 8² ÷ 2⁴ | 2² = 4 |
| 10 | (2³)² ÷ 2⁵ | 2¹ = 2 |
| 11 | (−3)⁴ ÷ (−3)² | (−3)² = 9 |
| 12 | 12³ ÷ 4³ | 3³ = 27 |
| 13 | 0.5⁴ × 2⁴ | 1⁴ = 1 |
| 14 | 2¹⁰ + 2¹⁰ | 2¹¹ = 2048 |
| 15 | 4⁵ − 4⁴ | 4⁴ × 3 = 768 |
第 8 題 9² = (3²)² = 3⁴；第 9 題 8² = (2³)² = 2⁶；第 13 題 0.5 × 2 = 1，所以是 1⁴。
高中指數律：負指數和分數指數
高一的指數單元會複習國中的指數律，再把指數從 0 和正整數擴充到負整數、分數，最後到所有實數。擴充的方式是讓國中的公式繼續成立：因為 2³ ÷ 2⁵ 應該等於 2³⁻⁵ = 2⁻²，而實際算出來是 8 ÷ 32 = 1/4，所以規定 2⁻² = 1/2²。同樣地，(9 的 1/2 次方)² 應該等於 9¹ = 9，所以 9 的 1/2 次方就是 √9 = 3。
高中指數律公式和國中長得一樣，aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ，但 m、n 可以是任何實數，相除也不再需要 m ≥ n，代價是底數 a、b 要限定是正數。國一只會在科學記號用到 10 的負次方，其他底數的負次方和分數次方都是高一的內容。
- 負整數指數：a⁻ⁿ = 1/aⁿ，例如 2⁻³ = 1/8，10⁻² = 0.01。
- 分數指數：a 的 1/n 次方 = a 的 n 次方根，例如 9 的 1/2 次方 = √9 = 3。
- a 的 m/n 次方 = (a 的 n 次方根)ᵐ，例如 8 的 2/3 次方 = (∛8)² = 2² = 4。
- 4 的 −1/2 次方 = 1 ÷ √4 = 1/2。
- 2 的 1/2 次方 × 2 的 3/2 次方 = 2 的 (1/2 + 3/2) 次方 = 2² = 4。
指數律的相關主題
指數律是國一數與量的重點，學完這頁可以接著看這些主題。
常見問題
指數律公式有哪些？
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ，以及 a 不是 0 時 a⁰ = 1。
指數律可以加減嗎？
不行，指數律只管乘除和次方。2³ + 2⁴ = 24，不是 2⁷。同底數相加可以提出公因數，例如 2⁴ + 2⁴ = 2 × 2⁴ = 2⁵。
任何數的 0 次方都是 1 嗎？
不是 0 的數，0 次方都是 1，例如 7⁰ = 1、(−5)⁰ = 1。國中不討論 0 的 0 次方，所以規定底數不能是 0。
指數律是幾年級學的？
108 課綱把指數的意義和指數律排在國中一年級，指數限 0 和正整數；高一再擴充到負數、分數和實數指數。