尺規作圖

中垂線作圖

中垂線是垂直一條線段、又經過它中點的直線。作法：以 A 為圓心、比 AB 一半還長的長度為半徑，在 AB 上下各畫一段弧；圓規張開的大小不變，再以 B 為圓心畫弧，和剛才的弧交於 P、Q；用直尺連接 PQ，就是 AB 的中垂線，PQ 和 AB 的交點 M 是 AB 的中點。

為什麼對：P 到 A、B 的距離都是同一個半徑，Q 也是，到線段兩端等距的點都在中垂線上，兩個點就決定這條直線。半徑如果沒有大於 AB 的一半，兩段弧碰不到，就找不到交點。

角平分線作圖

作法：以角的頂點 O 為圓心畫一段弧，交角的兩邊於 C、D；再分別以 C、D 為圓心、同樣的半徑畫弧，兩弧交於 E；連接 OE，就是這個角的角平分線。

為什麼對：OC = OD，CE = DE，OE 是共用的邊，依 SSS 全等，△OCE 和 △ODE 全等，所以 ∠COE = ∠DOE。把 60 度平分可以得到 30 度，再平分得到 15 度；90 度平分得到 45 度。

其他基本作圖步驟

課綱要求的其他作圖，都可以拆成畫等長的弧和中垂線這兩個動作。考試常要求寫出根據的性質，例如中垂線性質、SSS 全等、同位角相等兩直線平行。

• 複製線段：圓規張開到已知線段的長度，在直線上以一點為圓心畫弧，交點和圓心的距離就是同樣長。
• 複製角：在原來的角和新的射線上，以頂點為圓心畫同樣半徑的弧；再用圓規量原來角兩個交點的距離，在新的弧上截出同樣距離，連到頂點。依 SSS 全等，兩個角相等。
• 過直線上一點作垂線：以這一點為圓心畫弧，在直線上截出兩個點，再作這兩點的中垂線。
• 過直線外一點作垂線：以這一點為圓心畫弧，交直線於兩點，再作這兩點的中垂線，中垂線會經過原來那一點。
• 過直線外一點作平行線：過這一點畫一條直線和原直線相交，再把交出來的角複製到這一點，同位角相等，兩直線就平行。
• 複製三角形：用圓規量出三條邊，先畫一條邊，再以兩端為圓心、另外兩邊長為半徑畫弧，交點就是第三個頂點，依 SSS 全等。
• 正三角形和正六邊形：以邊長為半徑畫弧可得正三角形；在圓上用半徑長連續截 6 次，依序連起來就是正六邊形，因為每個圓心角都是 60 度。

線段三等分怎麼作

線段可以用尺規分成任意等分。作法：從 A 畫一條射線，用圓規在射線上連續截出三段一樣長，得到點 1、2、3；連接點 3 和 B；再過點 1、點 2 作這條線的平行線，交 AB 於 P、Q，P、Q 就把 AB 分成三等分。

為什麼對：三條平行線在射線上截出的三段一樣長，在 AB 上截出的三段也會一樣長，這是國中三年級學的平行線截比例線段性質。

角能用尺規三等分嗎

任意一個角都不能只用尺規三等分，這是古希臘留下來的三大作圖難題之一。1837 年法國數學家汪策爾用代數證明了這件事，所以不是還沒找到方法，而是已經證明做不到。網路上看到的三等分角方法，多半是用了有刻度的尺、量角器，或只是近似值。

不過有些特別的角可以三等分。例如 90 度：用正三角形作出 60 度角，90 度扣掉 60 度剩下 30 度，就是 90 度的三分之一。能不能三等分要看是哪一個角，不能一概而論。

正 17 邊形尺規作圖

1796 年，還不到 19 歲的高斯發現正 17 邊形可以用尺規畫出來，這是兩千年來第一次有人找到新的可以尺規作圖的正多邊形。後來的結果是：正 n 邊形能用尺規作圖，若且唯若 n 是 2 的次方乘上幾個不同的費馬質數，費馬質數目前只知道 3、5、17、257、65537 這五個。

正 17 邊形的作圖步驟很長，背後要算出 cos(360° ÷ 17) 可以只用加減乘除和平方根表示，屬於大學程度的內容，國中只需要知道它畫得出來。下表整理 3 到 20 邊的正多邊形能不能用尺規作圖。

正 9 邊形畫不出來，等於 120 度角不能三等分，因為 120 度的三分之一是 40 度，正是正 9 邊形的圓心角。

常見問題

延伸學習