數學王五邊形內角和為什麼是 540 度
從五邊形的一個頂點出發，和左右兩個相鄰的頂點本來就連著邊，只能連到另外 2 個頂點，畫出 2 條對角線，把五邊形切成 3 個三角形。3 個三角形的角剛好組成五邊形的 5 個內角，每個三角形內角和 180°，所以五邊形內角和是 3 × 180° = 540°。
也可以想成一個四邊形再加一個三角形：沿著一條對角線切開，一邊是四邊形 360°，另一邊是三角形 180°，360° + 180° = 540°。不管五邊形長什麼樣子，只要是凸五邊形，內角和都是 540°。
正五邊形內角和與每個內角
正五邊形的五條邊一樣長、五個角一樣大，內角和還是 540°，每個內角是 540° ÷ 5 = 108°。延長一條邊得到的外角是 180° − 108° = 72°，也可以用外角和 360° ÷ 5 = 72° 算。
正五邊形裡藏著很多等腰三角形。連一條對角線，會切出一個兩腰是邊、頂角 108° 的等腰三角形，兩個底角是 (180° − 108°) ÷ 2 = 36°，所以對角線和邊的夾角是 36°。
五角形和五角星不一樣
五角形這個說法有時指五邊形，有時指五角星。五邊形是五條邊圍成的圖形，內角和 540°。五角星是把正五邊形的頂點每隔一個連起來畫出的星形，它的五個尖角加起來是 180°，正五角星每個尖角是 180° ÷ 5 = 36°。
正五角星的尖角可以用正五邊形算：每個尖角夾在兩條對角線之間，前面算過對角線和邊的夾角是 36°，108° − 36° − 36° = 36°。
五邊形內角和例題
五邊形的題目都從 540° 開始，知道四個角就用 540° 減掉。
例 1五邊形四個角是 100°、110°、120°、95°，求第五個角。
- 100° + 110° + 120° + 95° = 425°
- 540° − 425° = 115°
答：115°
例 2五邊形五個角依序相差 10°，最小的角是 x°，求五個角。
- 五個角是 x、x + 10、x + 20、x + 30、x + 40
- 5x + 100 = 540，5x = 440，x = 88
- 五個角：88°、98°、108°、118°、128°
答：88°、98°、108°、118°、128°
例 3五邊形有兩個直角，其餘三個角一樣大，這三個角各是幾度？
- 兩個直角：90° × 2 = 180°
- 其餘三個角的和：540° − 180° = 360°
- 每個角：360° ÷ 3 = 120°
答：120°
例 4五邊形一共有幾條對角線？
- 每個頂點可以畫 5 − 3 = 2 條對角線
- 5 個頂點共 5 × 2 = 10 條，但每條對角線被兩端各算一次
- 10 ÷ 2 = 5
答：5 條
常見問題
五邊形內角和是幾度？
540 度，(5 − 2) × 180° = 540°。從一個頂點畫 2 條對角線會切成 3 個三角形，3 × 180° = 540°。
正五邊形每個內角幾度？
108 度。正五邊形五個角一樣大，540° ÷ 5 = 108°，每個外角是 72°。
五角形內角和是幾度？
如果五角形指的是五邊形，內角和是 540 度；如果指的是五角星，五個尖角的和是 180 度，正五角星每個尖角 36 度。