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乘法公式

乘法公式是把常見的多項式乘法先算好的公式，國中要會三個：和的平方 (a + b)² = a² + 2ab + b²，差的平方 (a − b)² = a² − 2ab + b²，平方差 (a + b)(a − b) = a² − b²。它們都是由分配律 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 展開得到的。

108 課綱把二次式的乘法公式排在國二，屬於國中數學的代數，後面的因式分解和一元二次方程式都要用到。三次方的乘法公式是高中一年級才學的內容，放在這頁後半段。

先看重點

  • 和的平方：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
  • 差的平方：(a − b)² = a² − 2ab + b²。
  • 平方差：(a + b)(a − b) = a² − b²。
  • (a + b)² 不等於 a² + b²，中間的 2ab 不能漏掉。

國中的乘法公式

這四個公式都可以用分配律自己展開驗證，例如 (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²。熟記以後，展開和速算都會快很多。

分配律展開(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd每一項都要乘到另一個括號的每一項
和的平方(a + b)² = a² + 2ab + b²首平方、加兩倍首尾乘積、加尾平方
差的平方(a − b)² = a² − 2ab + b²和和的平方只差中間的正負號
平方差(a + b)(a − b) = a² − b²中間的 ab 和 −ab 互相抵消

用面積看懂和的平方公式

把邊長 a + b 的正方形，照 a 和 b 的位置切開，會得到四塊：邊長 a 的正方形 a²、邊長 b 的正方形 b²，還有兩塊長 a、寬 b 的長方形，各是 ab。四塊加起來就是整個大正方形的面積，所以 (a + b)² = a² + 2ab + b²。

從圖也看得出來，(a + b)² 比 a² + b² 多了兩塊 ab，這就是為什麼不能把 (a + b)² 寫成 a² + b²。

a²ababb²abab(a + b)² = a² + 2ab + b²
邊長 a + b 的正方形 = a² + ab + ab + b²

乘法公式題目：展開

套公式時，先認出誰是 a、誰是 b，係數和負號要跟著一起平方。例如 (3x − 2y)² 的 a 是 3x、b 是 2y，a² 是 9x²，不是 3x²。

例 1展開 (2x + 3)²

  1. a = 2x，b = 3
  2. (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
  3. 檢查：x = 1 時，左邊 (2 + 3)² = 25，右邊 4 + 12 + 9 = 25

答：4x² + 12x + 9

例 2展開 (3x − 2y)²

  1. a = 3x，b = 2y，用差的平方
  2. (3x)² − 2 × 3x × 2y + (2y)² = 9x² − 12xy + 4y²
  3. 檢查：x = 1、y = 1 時，左邊 (3 − 2)² = 1，右邊 9 − 12 + 4 = 1

答：9x² − 12xy + 4y²

例 3展開 (x + 5)(x − 5)

  1. 平方差，a = x，b = 5
  2. x² − 5² = x² − 25
  3. 檢查：x = 2 時，左邊 7 × (−3) = −21，右邊 4 − 25 = −21

答：x² − 25

例 4展開 (x + 2)(x + 3)

  1. 不是三個公式的樣子，用分配律：x² + 3x + 2x + 6
  2. 合併同類項：x² + 5x + 6
  3. 檢查：x = 1 時，左邊 3 × 4 = 12，右邊 1 + 5 + 6 = 12

答：x² + 5x + 6

用乘法公式速算

乘法公式不只用在 x、y 的式子，接近整十、整百的數字相乘，也能拆成好算的樣子。這是國中課本常見的練習，也很適合拿來檢查自己有沒有真的懂公式。

例 1102² = ?

  1. 102 = 100 + 2，用和的平方
  2. 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4

答：10404

例 299² = ?

  1. 99 = 100 − 1，用差的平方
  2. 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10000 − 200 + 1

答：9801

例 352 × 48 = ?

  1. 52 = 50 + 2，48 = 50 − 2，用平方差
  2. 50² − 2² = 2500 − 4

答：2496

例 41001 × 999 = ?

  1. (1000 + 1)(1000 − 1) = 1000² − 1²
  2. 1000000 − 1

答：999999

乘法公式常見錯誤

乘法公式寫錯，代一個數字進去就能抓出來。例如以為 (a + b)² = a² + b²，用 a = 3、b = 4 試試：(3 + 4)² = 49，但 3² + 4² = 25，差的 24 正好是 2 × 3 × 4。

  • 漏掉中間項：(x + 3)² 是 x² + 6x + 9，不是 x² + 9。
  • 係數沒有平方：(2x)² 是 4x²，不是 2x²。
  • 差的平方最後一項寫成負的：(x − 4)² 的最後一項是 +16。
  • 平方差的正負號放錯：(a + b)(a − b) 是 a² − b²，不是 b² − a²。

三次方乘法公式

三次方的乘法公式不在國中課本裡，108 課綱排在高中一年級，和根式、分式的運算一起學。它們也都能用分配律展開驗證，例如 (a + b)³ = (a + b)²(a + b)，把 a² + 2ab + b² 再乘以 a + b 就會得到。

和的立方、差的立方的係數 1、3、3、1，在高中的二項式定理會看到它的規律。

和的立方(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³高中一年級
差的立方(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³正負號一項一項交錯
立方和(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³反過來就是立方和的因式分解
立方差(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³反過來就是立方差的因式分解

三次方乘法公式例題

三次方公式的用法和二次的一樣，先認出 a 和 b，再代入公式。

例 1展開 (x + 2)³

  1. a = x，b = 2
  2. x³ + 3 × x² × 2 + 3 × x × 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8
  3. 檢查：x = 1 時，左邊 3³ = 27，右邊 1 + 6 + 12 + 8 = 27

答：x³ + 6x² + 12x + 8

例 211³ = ?

  1. 11 = 10 + 1，用和的立方
  2. 10³ + 3 × 10² × 1 + 3 × 10 × 1² + 1³ = 1000 + 300 + 30 + 1

答：1331

例 3展開 (x − 1)(x² + x + 1)

  1. a = x，b = 1，是立方差公式
  2. x³ − 1³ = x³ − 1
  3. 檢查：x = 2 時，左邊 1 × 7 = 7，右邊 8 − 1 = 7

答：x³ − 1

乘法公式和其他單元的關係

乘法公式是把乘積展開，因式分解則是反過來，把展開的式子寫回乘積，兩個單元要一起練。配方法解一元二次方程式，用的就是和的平方、差的平方。多項式的加減乘除整理在多項式。

常見問題

乘法公式有哪些？

國中學三個：和的平方 (a + b)² = a² + 2ab + b²，差的平方 (a − b)² = a² − 2ab + b²，平方差 (a + b)(a − b) = a² − b²，再加上分配律 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd。

三次方乘法公式是什麼？

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³，還有立方和、立方差兩個公式，高中一年級學。

乘法公式是幾年級學的？

二次式的乘法公式在 108 課綱排在國中八年級，也就是國二；三次乘法公式在高中一年級。

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