數學王四面體的底面和高
四面體有 4 個頂點，每 3 個頂點連成一個三角形的面，一共 4 個面、6 條邊。算體積時，選一個面當底面，從對面的頂點畫一條垂直於底面的線，這條線的長度就是高。高通常在立體的裡面，不是斜斜的邊長。
四面體體積公式
四面體屬於角錐，所以和其他角錐一樣是底面積 × 高 ÷ 3，角錐的整體說明在體積公式。底面三角形的面積用三角形面積公式算。
四面體體積例題
前兩題只用到國小的乘除，第三題用正方體說明正四面體的體積，第四題用到根號，屬於國中以後的內容。
例 1一個四面體的底面是底 8 公分、高 6 公分的三角形，四面體的高是 5 公分，體積是多少？
- 底面積 = 8 × 6 ÷ 2 = 24 平方公分
- 體積 = 24 × 5 ÷ 3 = 40
答：40 立方公分
例 2從一個長 3 公分、寬 4 公分、高 5 公分的長方體切下一個角，切下來的四面體有三條互相垂直的邊，長度是 3、4、5 公分，體積是多少？
- 底面是直角三角形，面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6 平方公分
- 高是 5 公分，體積 = 6 × 5 ÷ 3 = 10
- 也可以用 3 × 4 × 5 ÷ 6 = 10，是長方體 60 立方公分的六分之一
答：10 立方公分
例 3在邊長 6 公分的正方體裡，連接 4 個互不相鄰的頂點，會得到一個正四面體。它的體積是多少？
- 正方體體積 = 6 × 6 × 6 = 216 立方公分
- 正方體切掉 4 個角，每個角都是三條邊 6 公分、互相垂直的四面體
- 每個角 = 6 × 6 ÷ 2 × 6 ÷ 3 = 36 立方公分
- 正四面體 = 216 − 36 × 4 = 72
答：72 立方公分，剛好是正方體的三分之一
例 4一個正四面體的邊長是 6 公分，體積大約是多少？
- 正四面體體積 = 邊長 × 邊長 × 邊長 × 根號 2 ÷ 12
- 6 × 6 × 6 = 216，216 ÷ 12 = 18
- 18 × 根號 2，根號 2 約 1.4142，所以約 25.46
答：約 25.46 立方公分
正四面體體積公式怎麼來
正四面體的 4 個面都是一樣大的正三角形。邊長是 1 的正四面體，底面正三角形的面積是根號 3 ÷ 4，約 0.4330；高是根號 6 ÷ 3，約 0.8165。代進底面積 × 高 ÷ 3，就得到根號 2 ÷ 12，約 0.1179，邊長變成幾倍，體積就乘以那個數的三次方。
上面第三題用正方體算出的 72 也可以對照：正方體邊長 6 公分時，正四面體的邊長是正方形的對角線，約 8.49 公分，代進正四面體公式一樣是 72。高中二年級選數學 A 的學生會學三階行列式，用三個向量算出平行六面體的體積，同樣三條邊圍成的四面體體積剛好是它的六分之一。
- 國小五年級：認識三角錐，數面、頂點和邊，畫展開圖。
- 國小六年級：算三角柱的體積，是四面體體積的基礎。
- 國中：學根號和畢氏定理，才能算正四面體的高，也會用正四面體的示意圖認識空間中的線和面；錐體體積沒有列為必學。
- 高中：選修數學甲的積分會用切片的方法說明錐體的體積；數學 A 的三階行列式可以算平行六面體，再推到四面體。
認識三角錐：馬上試做 5 題
網站沒有四面體體積的關卡，因為國小不考。五年級的柱體和錐體關卡會問三角錐有幾個頂點、幾個面，正好是這頁的基礎；三角形面積關卡練的是底面積的算法。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
四面體體積公式是什麼？
四面體體積 = 底面三角形的面積 × 高 ÷ 3。高是頂點垂直到底面的距離，不是斜邊的長度。
正四面體體積公式是什麼？
正四面體體積 = 邊長 × 邊長 × 邊長 × 根號 2 ÷ 12，約等於邊長的三次方 × 0.1179。邊長 6 公分的正四面體約 25.46 立方公分。
四面體和三角錐一樣嗎？
一樣。三角錐有 4 個三角形的面，所以也叫四面體。正四面體是 4 個面都是一樣大正三角形的三角錐。
四面體的體積國小有教嗎？
沒有。國小五年級只認識三角錐的形狀，六年級算三角柱的體積；錐體體積國中沒有列為必學，正四面體公式要用到國中才學的根號。