數學王等比數列是什麼
如果一個數列每一項除以前一項的商都一樣，就是等比數列，這個商叫做公比。2、6、18、54 每次乘 3，公比是 3；64、32、16、8 每次乘 1/2，公比是 1/2；3、−6、12、−24 每次乘 −2，公比是 −2，所以正負號交替出現。
等比數列的每一項都不能是 0，因為公比要用後項除以前項，除數不能是 0。生活中，細胞每次分裂一個變兩個，數量是公比 2 的等比數列；一張紙每對折一次，厚度就變成 2 倍，也是公比 2 的等比數列。
等比數列公式整理
從首項開始，每往後一項就乘一次公比：a₂ = a₁ × r，a₃ = a₁ × r²，a₄ = a₁ × r³，所以第 n 項乘了 n − 1 次公比。用 n = 1 檢查，a₁ × r⁰ = a₁ × 1 = a₁，正確。
等比數列例題
先寫出首項 a₁ 和公比 r，再套 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹。公比是分數或負數時，次方要整個括號一起算，例如 (−2)⁶ = 64。
例 1等比數列 2、6、18、54…，第 6 項是多少？
- 首項 a₁ = 2，公比 r = 6 ÷ 2 = 3
- a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486
答：486
例 2等比數列 3、−6、12…，第 7 項是多少？
- 首項 a₁ = 3，公比 r = −6 ÷ 3 = −2
- a₇ = 3 × (−2)⁶ = 3 × 64 = 192
答：192
例 3等比數列 64、32、16…，第 8 項是多少？
- 首項 a₁ = 64，公比 r = 32 ÷ 64 = 1/2
- a₈ = 64 × (1/2)⁷ = 64 ÷ 128 = 1/2
答：1/2
例 4一種細菌每小時數量變成 2 倍，一開始有 5 隻，6 小時後有幾隻？
- 1 小時後 10 隻，當作首項，公比 2
- 6 小時後是第 6 項：10 × 2⁵ = 10 × 32 = 320
- 也可以想成 5 隻乘了 6 次 2：5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320
答：320 隻
例 52、x、18 成等比數列，x 是多少？
- x 是等比中項：x² = 2 × 18 = 36
- x = 6 或 x = −6
- 檢查：2、6、18 的公比是 3；2、−6、18 的公比是 −3，兩個都是等比數列
答：6 或 −6
等比數列的和：前 n 項和公式
等比數列的和又叫等比級數，108 課綱排在高一，國中不教，這裡先整理給想預習的讀者。公式是 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，r 不等於 1。推導的方法是把總和乘上公比再相減：Sₙ = a₁ + a₁r + … + a₁rⁿ⁻¹，r × Sₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ，下式減上式，中間的項全部消掉，剩下 r × Sₙ − Sₙ = a₁rⁿ − a₁，所以 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)。
公比小於 1 時，常寫成 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)，分子分母同時變號，值完全一樣。無限多項加下去的無窮等比級數，放在等比級數公式說明。
例 11 + 2 + 4 + … + 512 = ?
- 首項 1，公比 2，512 = 2⁹，是第 10 項
- S₁₀ = 1 × (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 1024 − 1 = 1023
答：1023
例 23 + 6 + 12 + 24 + 48 = ?
- 首項 3，公比 2，共 5 項
- S₅ = 3 × (2⁵ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 31 = 93
- 檢查：直接相加 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93
答：93
例 31 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = ?
- 首項 1，公比 1/2，共 4 項
- S₄ = 1 × (1 − (1/2)⁴) ÷ (1 − 1/2) = (15/16) ÷ (1/2) = 15/8
答：15/8
相關主題
等比數列和等差數列在國二一起學，判斷時先算相鄰兩項的差，差不一樣再算相鄰兩項的比。
常見問題
等比數列公式是什麼？
第 n 項 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹，也就是首項乘上公比的 n − 1 次方。例如 2、6、18…的第 6 項是 2 × 3⁵ = 486。
等比數列前 n 項和公式是什麼？
Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)，r 不等於 1；r = 1 時 Sₙ = n × a₁。這是高一的內容，國中只學等比數列的第 n 項。
等比數列是國中還是高中學的？
依 108 課綱，等比數列在國二學，給首項和公比求第 n 項；等比數列的和，也就是等比級數，在高一學。