數學王根號5 近似值表
左邊的數平方比 5 小、右邊的數平方比 5 大，根號 5 就夾在中間。注意四捨五入時要看下一位，夾在 2.23 和 2.24 之間，四捨五入卻是 2.24，因為下一位是 6。
| 精確到 | 夾在哪兩個數中間 | 平方檢查 | 四捨五入的近似值 |
|---|---|---|---|
| 個位 | 2 和 3 | 2² = 4，3² = 9 | 2 |
| 小數第 1 位 | 2.2 和 2.3 | 2.2² = 4.84，2.3² = 5.29 | 2.2 |
| 小數第 2 位 | 2.23 和 2.24 | 2.23² = 4.9729，2.24² = 5.0176 | 2.24 |
| 小數第 3 位 | 2.236 和 2.237 | 2.236² = 4.999696，2.237² = 5.004169 | 2.236 |
| 小數第 4 位 | 2.2360 和 2.2361 | 2.2360² = 4.999696，2.2361² = 5.00014321 | 2.2361 |
根號 5 = 2.2360679…，取到小數第 6 位是 2.236068。
不用計算機怎麼算根號5：十分逼近法
十分逼近法每一輪確定一位數字，平方剛好超過 5 的前一個，就是這一位的數字。
- 2 × 2 = 4 比 5 小，3 × 3 = 9 比 5 大，所以 √5 是 2 點多。
- 2.2 × 2.2 = 4.84 比 5 小，2.3 × 2.3 = 5.29 比 5 大，所以是 2.2 多。
- 2.23 × 2.23 = 4.9729 比 5 小，2.24 × 2.24 = 5.0176 比 5 大，所以是 2.23 多。
- 2.236 × 2.236 = 4.999696 比 5 小，2.237 × 2.237 = 5.004169 比 5 大，所以是 2.236 多。
根號計算機：輸入 5 試試看
計算機已經填好 5，會顯示 √5 ≈ 2.236068、√5 已經是最簡根式，以及 √5 介於 2 和 3 之間。輸入 20、45、80，會看到它們化成 2√5、3√5、4√5。
在方格紙上畫出根號5
在方格紙上從一個格子點出發，往右走 2 格、再往上走 1 格，把起點和終點連起來。這條斜線是直角三角形的斜邊，兩條直角邊是 2 和 1，依畢氏定理，斜線 × 斜線 = 2 × 2 + 1 × 1 = 5，所以斜線長是 √5 格。
換成座標來說，點 (0, 0) 和點 (2, 1) 的距離就是 √5，這是兩點距離公式最簡單的例子之一。用圓規把這條斜線轉到數線上，就能在數線上標出根號 5 的位置。
根號5 的化簡和運算例題
化簡根號時，先找根號裡的數有沒有平方數因數，把它開出來放到根號外面。
例 1化簡 √20 和 √45。
- 20 = 4 × 5，√20 = 2√5
- 45 = 9 × 5，√45 = 3√5
答：√20 = 2√5，√45 = 3√5
例 2計算 √45 − √20，並求近似值。
- √45 − √20 = 3√5 − 2√5 = √5
- √5 ≈ 2.236
答：√5，約 2.236
例 3長方形長 4 公分、寬 2 公分，對角線約幾公分？
- 對角線 × 對角線 = 4 × 4 + 2 × 2 = 20
- 對角線 = √20 = 2√5
- 2√5 ≈ 2 × 2.236 = 4.472
答：2√5 公分，約 4.47 公分
例 4把 1/√5 化成分母沒有根號的樣子，並求近似值。
- 分子分母同乘 √5：1/√5 = √5/5
- √5/5 ≈ 2.236 ÷ 5 = 0.4472
答：√5/5，約 0.447
根號5 和黃金比例
根號 5 也出現在常聽到的黃金比例裡，黃金比例是 (1 + √5) ÷ 2，約等於 (1 + 2.236) ÷ 2 = 1.618。這是延伸知識，不在國中課綱的學習內容裡。國中考試裡根號 5 最常出現在方格紙、座標距離和根式化簡的題目，記住 √5 ≈ 2.236 就夠用了。
先備練習：小數乘法試做 5 題
數學王的練習是國小一到六年級，沒有國中的根號題目。不過用十分逼近法找近似值時，每一步都要算小數自己乘自己，例如 2.24 × 2.24 = 5.0176，這就是五年級的小數乘法。乘法算得又快又準，逼近起來才不會卡住。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
根號5等於多少？
根號 5 約等於 2.236，更精確是 2.2360679…，是無理數。精確到小數第 6 位是 2.236068。
根號5 介於哪兩個整數之間？
介於 2 和 3 之間，因為 2 × 2 = 4 比 5 小、3 × 3 = 9 比 5 大。
根號5 的近似值取到小數第 2 位是多少？
是 2.24。根號 5 = 2.236…，小數第 3 位是 6，四捨五入要進位，所以不是 2.23。