數學王根號3 近似值表
每一列都用平方檢查：左邊的數平方比 3 小、右邊的數平方比 3 大，根號 3 就夾在兩個數中間。一位一位往下找，就能得到想要的精確度。
| 精確到 | 夾在哪兩個數中間 | 平方檢查 | 四捨五入的近似值 |
|---|---|---|---|
| 個位 | 1 和 2 | 1² = 1，2² = 4 | 2 |
| 小數第 1 位 | 1.7 和 1.8 | 1.7² = 2.89，1.8² = 3.24 | 1.7 |
| 小數第 2 位 | 1.73 和 1.74 | 1.73² = 2.9929，1.74² = 3.0276 | 1.73 |
| 小數第 3 位 | 1.732 和 1.733 | 1.732² = 2.999824，1.733² = 3.003289 | 1.732 |
| 小數第 4 位 | 1.7320 和 1.7321 | 1.7320² = 2.999824，1.7321² = 3.00017041 | 1.7321 |
根號 3 = 1.7320508…，四捨五入到個位是 2，到小數第 4 位是 1.7321，因為第 5 位是 5；取到第 6 位是 1.732051。
不用計算機怎麼算根號3：十分逼近法
十分逼近法一次確定一位數字：先找夾住的兩個整數，再一位一位試，平方超過 3 的前一個數字就是答案的這一位。
- 1 × 1 = 1、2 × 2 = 4，3 在中間，所以 √3 是 1 點多。
- 1.7 × 1.7 = 2.89 比 3 小，1.8 × 1.8 = 3.24 比 3 大，所以是 1.7 多。
- 1.73 × 1.73 = 2.9929 比 3 小，1.74 × 1.74 = 3.0276 比 3 大，所以是 1.73 多。
- 1.732 × 1.732 = 2.999824 比 3 小，1.733 × 1.733 = 3.003289 比 3 大，所以是 1.732 多。
根號計算機：輸入 3 試試看
計算機已經填好 3，會顯示 √3 ≈ 1.732051、√3 已經是最簡根式，以及 √3 介於 1 和 2 之間。再輸入 12 試試，會看到 √12 = √(4 × 3) = 2√3；再試 27、48、75，會得到 3√3、4√3、5√3。
正三角形的高為什麼是根號3
邊長 2 的正三角形，從頂點畫一條垂直底邊的高，剛好把底邊分成兩段 1，也把正三角形分成兩個一樣的直角三角形。每個直角三角形的斜邊是 2、一條直角邊是 1，依畢氏定理，高 × 高 = 2 × 2 − 1 × 1 = 3，所以高是 √3。
這兩個小直角三角形的角是 30 度、60 度、90 度，三邊依序是 1、√3、2，這就是直角三角形比例裡最常考的 1 : √3 : 2。正三角形邊長變成幾倍，高也變成幾倍，所以邊長 a 的正三角形，高是 a 的 √3/2 倍。
根號3 的化簡和運算例題
先用根號運算，最後一步再代 1.732 求近似值，誤差比較小。
例 1化簡 √12 和 √27。
- 12 = 4 × 3，√12 = √4 × √3 = 2√3
- 27 = 9 × 3，√27 = √9 × √3 = 3√3
答：√12 = 2√3，√27 = 3√3
例 2計算 √12 + √27。
- 先化簡：√12 = 2√3，√27 = 3√3
- 2√3 + 3√3 = 5√3
- 5√3 ≈ 5 × 1.732 = 8.66
答：5√3，約 8.66
例 3邊長 6 公分的正三角形，高和面積各約是多少？
- 高 = 6 × √3 ÷ 2 = 3√3 ≈ 3 × 1.732 = 5.196（公分）
- 面積 = 底 × 高 ÷ 2 = 6 × 3√3 ÷ 2 = 9√3
- 9√3 ≈ 9 × 1.732 = 15.588（平方公分）
答：高 3√3 公分，約 5.20 公分；面積 9√3 平方公分，約 15.59 平方公分
例 4把 1/√3 化成分母沒有根號的樣子，並求近似值。
- 分子分母同乘 √3：1/√3 = √3/3
- √3/3 ≈ 1.732 ÷ 3 = 0.5773…
答：√3/3，約 0.577
根號3 常見的錯誤
根號 3 的題目，錯誤多半出在把根號當成一般的數直接加減，或太早代近似值。
- √3 + √3 不是 √6，而是 2√3，約 3.464；√6 約 2.449，差很多。
- √3 × √3 = 3，不是 9。
- 根號 3 不是 1.7 也不是 1.73，那些都是近似值，題目沒說取近似值就保留 √3。
- 正三角形的高不是邊長的一半，而是邊長的 √3/2 倍，約 0.866 倍。
先備練習：小數乘法試做 5 題
數學王的練習是國小一到六年級，沒有國中的根號題目。不過用十分逼近法找近似值時，每一步都要算小數自己乘自己，例如 1.73 × 1.73 = 2.9929，這就是五年級的小數乘法。乘法算得又快又準，逼近起來才不會卡住。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
根號3等於多少？
根號 3 約等於 1.732，更精確是 1.7320508…，是寫不完也不循環的無理數。精確到小數第 6 位是 1.732051。
根號3 的近似值取到小數第幾位？
國中題目最常用 1.732，也就是取到小數第 3 位；有時題目會指定用 1.73。題目沒有說要近似值時，答案保留 √3。
根號3 在介於哪兩個整數之間？
介於 1 和 2 之間，因為 1 × 1 = 1 比 3 小、2 × 2 = 4 比 3 大。
正三角形的高為什麼有根號3？
高把正三角形分成兩個 30 度、60 度、90 度的直角三角形，邊長 2 時，高 × 高 = 2 × 2 − 1 × 1 = 3，所以高是 √3。