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一元二次方程式公式解

一元二次方程式 ax² + bx + c = 0，a 不是 0，它的解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，口語讀作「2a 分之負 b 加減根號 b 平方減 4ac」，也叫做求根公式。± 代表加和減各算一次，所以通常會得到兩個根。

公式解是一元二次方程式三種解法裡唯一每一題都能用的方法。用之前先把方程式整理成等號右邊是 0，寫出 a、b、c，連同正負號一起代進公式。根號的化簡可以複習根號，想對答案可以用一元二次方程式計算機。

先看重點

  • 公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，2a 是整個分子的分母。
  • 先算判別式 b² − 4ac：大於 0 兩個根，等於 0 重根，小於 0 沒有實數解。
  • b 是負數時，−b 是正數，例如 b = −7，−b = 7。
  • 公式是用配方法推導出來的，忘了可以自己推一次。

一元二次方程式公式

公式解的根號裡面 b² − 4ac 叫做判別式，常用 D 表示。D 決定了根號能不能開、開出來是多少，所以先算 D 再代公式，計算會比較清楚。

公式解x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2aax² + bx + c = 0，a ≠ 0
判別式D = b² − 4acD > 0 兩個不同的根，D = 0 重根，D < 0 沒有實數解
兩個根分開寫x = (−b + √D) ÷ 2a 或 x = (−b − √D) ÷ 2aD > 0 時兩個根不一樣
重根x = −b ÷ 2aD = 0 時根號是 0，兩個根相同

公式解的用法：五個步驟

照著固定的步驟寫，就不容易漏掉正負號。最重要的是第一步，等號右邊一定要是 0，a、b、c 才會對。

  1. 把方程式整理成 ax² + bx + c = 0。
  2. 寫出 a、b、c，連同正負號，缺少的項係數是 0。
  3. 算判別式 D = b² − 4ac，D 小於 0 就直接寫沒有實數解。
  4. 代入 x = (−b ± √D) ÷ 2a，√D 能化簡就先化簡。
  5. 分子分母有公因數就約分，最後把根代回原式檢查。

公式解例題

這六題包含判別式是完全平方數、不是完全平方數、等於 0、小於 0，以及 a 是負數的情形。根號開不盡的答案，檢查時把根式代回去展開。

例 1解 x² − 7x + 10 = 0

  1. a = 1，b = −7，c = 10
  2. D = (−7)² − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9
  3. x = (7 ± √9) ÷ 2 = (7 ± 3) ÷ 2
  4. x = 10 ÷ 2 = 5 或 x = 4 ÷ 2 = 2
  5. 檢查：25 − 35 + 10 = 0，4 − 14 + 10 = 0

答：x = 5 或 x = 2

例 2解 3x² + 2x − 5 = 0

  1. a = 3，b = 2，c = −5
  2. D = 2² − 4 × 3 × (−5) = 4 + 60 = 64
  3. x = (−2 ± 8) ÷ 6
  4. x = 6 ÷ 6 = 1 或 x = −10 ÷ 6 = −5/3
  5. 檢查：3 + 2 − 5 = 0；3 × 25/9 − 10/3 − 5 = 25/3 − 10/3 − 15/3 = 0

答：x = 1 或 x = −5/3

例 3解 x² − 4x + 1 = 0

  1. a = 1，b = −4，c = 1
  2. D = 16 − 4 = 12，√12 = 2√3
  3. x = (4 ± 2√3) ÷ 2 = 2 ± √3
  4. 檢查：(2 + √3)² − 4(2 + √3) + 1 = 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + 1 = 0，2 − √3 同理

答：x = 2 + √3 或 x = 2 − √3

例 4解 4x² − 12x + 9 = 0

  1. a = 4，b = −12，c = 9
  2. D = 144 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0，是重根
  3. x = 12 ÷ 8 = 3/2
  4. 檢查：4 × 9/4 − 12 × 3/2 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0

答：x = 3/2（重根）

例 5解 x² + x + 1 = 0

  1. a = 1，b = 1，c = 1
  2. D = 1 − 4 = −3，小於 0
  3. 根號裡是負數，在實數裡開不出來

答：沒有實數解

例 6解 −x² + 2x + 8 = 0

  1. a 是負數時，可以先兩邊同乘以 −1：x² − 2x − 8 = 0
  2. a = 1，b = −2，c = −8，D = 4 + 32 = 36
  3. x = (2 ± 6) ÷ 2，x = 4 或 x = −2
  4. 檢查：−16 + 8 + 8 = 0，−4 − 4 + 8 = 0

答：x = 4 或 x = −2

公式解怎麼來的：用配方法推導

公式解不是憑空背出來的，而是對 ax² + bx + c = 0 做一次配方法。假設 a 是正數，照下面的步驟寫一次，就知道每個符號從哪裡來。a 是負數時，可以像上面最後一題一樣先乘以 −1；而且因為公式裡有 ±，直接代公式也會得到同樣的兩個根。

  1. 兩邊同除以 a：x² + (b/a)x + c/a = 0。
  2. 常數移到右邊：x² + (b/a)x = −c/a。
  3. 兩邊加上 x 係數一半的平方，x 的係數是 b/a，一半是 b/2a，也就是 b ÷ (2a)：x² + (b/a)x + (b/2a)² = b²/(4a²) − c/a。
  4. 左邊湊成完全平方，右邊通分：(x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²)。
  5. b² − 4ac 不是負數時開平方：x + b/2a = ±√(b² − 4ac) ÷ 2a。
  6. 移項：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。

用公式解最常算錯的地方

公式解的錯誤多半是符號和分數線，下面四種最常見。算完以後用一元二次方程式計算機輸入同樣的 a、b、c 對一次答案，就能知道哪裡出錯。

  • b 是負數時 −b 寫錯：b = −7 時 −b = 7，b² = 49，不是 −49。
  • 只把 √D 除以 2a：2a 是整個分子 −b ± √D 的分母。
  • 沒有先移項：x² = 3x + 4 要先寫成 x² − 3x − 4 = 0，b 是 −3，c 是 −4。
  • 約分只約一項：(4 ± 2√3) ÷ 2 要兩項都除以 2，得到 2 ± √3。

用計算機檢查公式解

輸入 a、b、c 按「計算」，會照公式寫出判別式 b² − 4ac 的代入算式，再寫出 (−b ± √D) ÷ 2a 的算式和兩個根。例如輸入 1、−4、1，會顯示判別式 12、x 約 3.732051 或約 0.267949，並寫成根式 x = 2 ± √3，和上面的例題一樣。

方程式寫成 a x² + b x + c = 0，輸入 a、b、c，可以是負數或小數，a 不能是 0。

常見問題

一元二次方程式公式解是什麼？

ax² + bx + c = 0 的解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，讀作 2a 分之負 b 加減根號 b 平方減 4ac，a 不能是 0。

判別式是什麼？

公式解根號裡的 b² − 4ac。大於 0 有兩個不同的根，等於 0 是重根，小於 0 沒有實數解。

什麼時候用公式解，什麼時候用因式分解？

容易分解的題目用因式分解比較快，例如 x² − 5x + 6 = 0；分解不出來，或判別式不是完全平方數時，用公式解。公式解每一題都能用。

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